1) По своему физическому смыслу спектр мощности вещественен и неотрицателен:

Поэтому по спектру мощности принципиально невозможно восстановить какую - либо отдельно взятую реализацию случайного процесса.

2) Поскольку чётная функция аргумента , то соответствующий спектр мощности представляет собой чётную функцию частоты . Отсюда следует, что пару преобразований Фурье (6.14), (6.15) можно записать, используя интегралы в полубесконечных пределах:

(6.17)

(6.18)

3. Целесообразно ввести так называемый односторонний спектр мощности случайного процесса, определив его следующим образом:

(6.19)

Функция позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса путём интегрирования по положительным (физическим частотам):

(6.20)

4. В технических расчётах часто вводят односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц:

(6.21)

При этом, как легко видеть

Весьма важным параметром случайных процессов является интервал корреляции. Случайные процессы, как правило, обладают следующими свойствами: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига . Чем быстрее убывает функция , тем меньше оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализации случайного процесса, является интервал корреляции определяемый выражением:

(6.22)

Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка .

Ещё одним существенным параметром для случайного процесса является эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией - односторонним спектром мощности, причём - экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна в пределах эффективной полосы частот , выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов:

Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра:

(6.23)

Вне пределов указанной полосы спектральная плотность случайного процесса считается равной 0.

Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчёта дисперсии шумового сигнала: .

Если реализации случайного процесса имеют размерность напряжения (В), то относительный спектр мощности N имеет размерность .

Белый шум и его свойства. Гауссовский случайный процесс.

А) Белый шум.

стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом.

(7.1)

По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:

равна нулю всюду кроме точки . Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика.

Белый шум является дельта-коррелированным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени – как бы мал ни был интервал , сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину.

Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс, безусловно, не существует в природе. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.

При исследовании автоматических систем управления удобно пользоваться еще одной характеристикой стационарного случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Во многих случаях, особенно при изучении преобразования стационарных случайных процессов линейными системами управления, спектральная плотность оказывается более удобной характеристикой, чем корреляционная функция. Спектральная плотность случайного процесса определяется как преобразование Фурье корреляционной функцией , т. е.

Если воспользоваться формулой Эйлера то (9.52) можно представить как

Так как нечетная функция то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что четная функция получаем

Так как то из (9.53) следует, что

Таким образом, спектральная плотность является действительной и четной функцией частоты о). Поэтому на графике спектральная плотность всегда симметрична относительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:

Используя (9.55) и (9.38), можно установить важную зависимость между дисперсией и спектральной плотностью случайного процесса:

Термин «спектральная плотность» обязан своим происхождением теории электрических колебаний. Физический смысл спектральной плотности можно пояснить следующим образом.

Пусть - напряжение, приложенное к омическому сопротивлению 1 Ом, тогда средняя мощность рассеиваемая на этом сопротивлении за время равна

Если увеличивать интервал наблюдения до бесконечных пределов и воспользоваться (9.30), (9.38) и (9.55) при то можно формулу для средней мощности записать так:

Равенство (9.57) показывает, что средняя мощность сигнала может быть представлена в виде бесконечной суммы бесконечно малых слагаемых , которая распространяется на все частоты от 0 до

Каждое элементарное слагаемое этой суммы играет роль мощности, соответствующей бесконечно малому участку спектра, заключенному в пределах от до Каждая элементарная мощность - пропорциональна значению функции для данной частоты Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение мощности сигнала по частотному спектру.

Спектральная плотность может быть найдена экспериментально через среднюю величину квадрата амплитуды гармоник реализации случайного процесса. Приборы, применяемые для этой цели и состоящие анализатора спектра и вычислителя среднего значения квадрата амплитуды гармоник, называются спектрометрами. Экспериментально находить спектральную плотность сложнее, чем корреляционную функцию, поэтому на практике чаще всего спектральную плотность вычисляют но известной корреляционной функции с помощью формулы (9.52) или (9.53).

Взаимная спектральная плотность двух стационарных случайных процессов определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции т. е.

По взаимной спектральной плотности можно, применяя к (9.58) обратное преобразование Фурье, найти выражение для взаимной корреляционной функции:

Взаимная спектральная плотность является мерой статистической связи между двумя стационарными случайными процессами: Если процессы некоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то взаимная спектральная плотность равна нулю, т. е.

В отличие от спектральной плотности взаимная спектральная плотность не является четной функцией о и представляет собой не вещественную, а комплексную функцию.

рассмотрим некоторые свойства спектральных плотностей

1 Спектральная плотность чистого случайного процесса, или белого шума, постоянна во всем диапазоне частот (см. рис. 9.5, г):

Действительно, подставляя в (9.52) выражение (9.47) для корреляционной функции белого шума, получим

Постоянство спектральной плотности белого шума во всем бесконечном диапазоне частот, полученное в последнем выражении, означает, что энергия белого шума распределена по всему спектру равномерно, а суммарная энергия процесса равна бесконечности. Это указывает на физическую нереализуемость случайного процесса типа белого шума. Белый шум является математической идеализацией реального процесса. В действительности частотный спектр западает на очень высоких частотах (как показано пунктиром на рис. 9.5, г). Если, однако, эти частоты настолько велики, что при рассмотрении какого-либо конкретного устройства они не играют роли (ибо лежат вне полосы частот, пропускаемых этим устройством), то идеализация сигнала в виде белого шума упрощает рассмотрение и поэтому вполне целесообразна.

Происхождение термина «белый шум» объъясняется аналогией такого процесса с белым светом, имеющим одинаковые интенсивности всех компонент, и тем, что случайные процессы типа белого шума впервые были выделены при исследовании тепловых флуктуациоиных шумов в радиотехнических устройствах.

2. Спектральная плотность постоянного сигнала представляет собой -функцию, расположенную в начале координат (см. рис. 9.5, а), т. е.

Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плотность имеет вид (9.62), и иандем по (9.55) соответствующую ей корреляционную функцию. Так как

то при получаем

Это (в соответствии со свойством 5 корреляционных функций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной плотности, определяемой (9.62), является постоянным сигналом, равным

Тот факт, что спектральная плотность представляет собой -функцию при означает, что вся мощность постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте, что и следовало ожидать.

3. Спектральная плотность периодического сигнала представляет собой две -функции, расположенные симметрично относительно начала кординат при (см. рис. 9.5, д), т. е.

Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плотность имеет вид (9.63), и найдем по (9.55) соответствующую ей корреляционную функцию:

Это (в соответствии со свойством 6 корреляционных функций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной плотности определяемой (9.63), является периодическим сиг налом, равным

Тот факт, что спектральная плотность представляет собой две -функции, расположенные при означает, что вся мощность периодического сигнала сосредоточена на двух частотах: Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим,

что вся мощность периодического сигнала будет сосредоточена на одной частоте .

4. Спектральная плотность временной функции, разлагаемой в ряд Фурье имеет на основании изложенного выше вид

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис. 9.9) с -функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник. На рис. 9.9 -функции условно изображены так, что их высоты показаны пропорциональными коэффициентам при единичной -функции, т. е. величинам и

Заметим, что спектральная плотность как это следует из (9.64), не содержит, так же как и корреляционная функция, определяемая (9.44), никаких сведений о фазовых сдвигах отдельных гармонических составляющих. и наоборот. Это соответствует физической сущности процесса: чем шире график спектральной плотности, т. е. чем более высокие частоты представлены в спектральной плотности, тем выше степень изменчивости случайного процесса и тем же графики корреляционной функции. Другими словами, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и видом функции времени. Это особенно ярко проявляется при рассмотрении постоянного сигнала и белого шума. В первом случае корреляционная функция имеет вид горизонтальной прямой, а спектральная плотность имеет вид -функции (см. рис. 9.5, а). Во втором случае (см. рис. 9.5, г) имеет место обратная картина.

6. Спектральная плотность случайного процесса, на кото рой наложены периодические составляющие, содержит непрерывную часть и отдельные -функции, соответствующие частотам периодических составляющих.

Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на то, что случайный процесс смешан со скрытыми периодическими составляющими, которые могут и не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи процесса. Если, например, на случайный процесс наложен один периодический сигнал с частотой то график; сцектральной плотности имеет вид, показанный на рис. 9.10,

Иногда в рассмотрение вводят нормированную

спектральную плотность являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (9.48):

Нормированная спектральная плотность имеет размерность времени.

Оценка спектральной плотности мощности представляет известную проблему для случайных процессов. Примерами случайных процессов может служить шум, а также сигналы, несущие информацию. Обычно требуется найти статистически устойчивую оценку. Анализ сигналов подробно рассматривается в курсе «Цифровая обработка сигналов» . Начальные сведения изложены в .

Для сигналов с известными статистическими характеристиками спектральный состав может быть определен по конечному интервалу этого сигнала. При неизвестности статистических характеристик сигнала по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Разные методы использую различные допущения, и поэтому дают различные оценки.

При выборе оценки исходят из того, что в общем случае анализируемый сигнал представляет собой случайный процесс. И требуется выбрать несмещенную оценку, обладающую малой дисперсией, позволяющую усреднить спектр сигнала. Смещением называют разницу между средним значением оценки и истинным значением величины. Несмещенной оценкой называют оценку с нулевым смещением. Оценка с малой дисперсией хорошо локализует искомые величины, т.е. плотность вероятности сконцентрирована около среднего значения. Желательно иметь состоятельную оценку, т.е. оценку, которая при увеличении размера выборки стремится к истинному значению (смещение и дисперсия стремятся к нулю). Различают оценки параметрические, использующие только информацию о самом сигнале и непараметрические, использующие статистическую модель случайного сигнала, и осуществляющие подбор параметров этой модели.

При оценках случайных процессов распространено использование корреляционных функций.

Для эргодичного процесса возможно определение статистических параметров процесса путем усреднения по одной реализации.

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция R x (t) зависит от интервала времени, для которого она определяется. Эта величина характеризует связь между значениями x(t), разделенными промежутком t. Чем медленнее убывает R(t), тем больше промежуток, в течение которого наблюдается статистическая связь между значениями случайного процесса.

где - математическое ожидание x(t).

Соотношение между корреляционной функцией R(t) и спектральной плотностью мощности W(w) для случайного процесса определяется теоремой Винера-Хинчина

Для дискретных процессов теорема Винера-Хинчина устанавливает связь между спектром дискретного случайного процесса W(w) и его корреляционной функции R x (n)

W(w)= R x (n)·exp(-j·w·n·T)

Для оценки энергии сигнала во временной и частотной областях используется равенство Парсеваля

Одним из распространенных способов получения оценки спектральной плотности является применение метода периодограмм.

Периодограмма (Periodogram) .В этом методе производится дискретное преобразование Фурье для сигнала x(n), заданного в дискретных точках выборки длиной N отсчетов и его статистическое усреднение. Фактическое вычисление спектра X(k), выполняется только в конечном количестве частотных точек N. Применяется быстрое преобразование Фурье (FFT). Вычисляется спектральная плотность мощности, приходящаяся на один отсчет выборки:

P xx (X k)=|X(k)| 2 /N, X(k)= , k=0,1,…,N-1.

Для получения статистически устойчивой оценки, имеющиеся данные разбивают на перекрывающиеся выборки, с последующим усреднением спектров, полученных по каждой выборке. Задается число отсчетов на выборку N и сдвиг начала каждой последующей выборки относительно начала предыдущей N t . Чем меньше число отсчетов в выборке, тем больше выборок и меньшая дисперсия у оценок. Но поскольку длина выборки N связана с частотным разрешением (2.4), то уменьшение длины выборки ведет к уменьшению частотного разрешения.

Таким образом, сигнал просматривается через окно, а данные, не попадающие в окно, принимаются равными нулю. Конечный сигнал x(n) состоящий из N отсчетов, обычно представляют как результат умножения бесконечного по времени сигнала (n) на прямоугольное окно с конечной длиной w R (n):

x(n) = (n) ∙w R (n),

а непрерывный спектр X N (f) наблюдаемых сигналов x(n) определится как свертка Фурье-образов X(f), W R (f) бесконечного по времени сигнала (n) ∙и окна w R (n)

X N (f)=X(f)*W R (f)=

Спектр непрерывного прямоугольного окна (rect) имеет форму интегрального синуса sinc(x)=sin(x)/x. Он содержит главный «лепесток» и несколько боковых, из которых самый большой приблизительно на 13 dB ниже основного пика (см. рис.15).

Фурье-образ (спектр) дискретной последовательности, получаемой N-точечной дискретизацией непрерывного прямоугольного окна, показан на рис.32. Он может быть вычислен суммированием смещенных интегральных синусов (2.9), в результате получается ядро Дирихле

Рис. 32. Спектр дискретного прямоугольного окна

В то время как сигнал с бесконечной длиной сконцентрирует его мощность точно в дискретной частоте f k , прямоугольная выборка сигнала имеет распределенный спектр мощности. Чем короче выборка, тем более распределенный спектр.

При спектральном анализе производится взвешивание данных с помощью оконных функций, чем добиваются уменьшения влияния боковых «лепестков» на спектральные оценки.

Чтобы обнаружить две гармоники f 1 и f 2 с близкими частотами, необходимо, чтобы для временного окна T ширина главного «лепестка» Df -3 ≈ Df L =0 =1/Т, определяемая на значении -3дБ, была меньше разности искомых частот

Df=f 1 -f 2 > Df -3

Ширина временного окна Т связана с частотой дискретизацией f s и числом отсчетов выборки формулой (2.4).

Инструментальные средства гармонического анализа . Для исследования сигналов очень удобно применение пакета MATLAB, в частности, его приложения (Toolbox) Signal Processing.

Модифицированные периодограммы используют непрямоугольные оконные функции, уменьшающие эффект Гиббса. Примером может служить использование окна Хэмминга (Hamming). Но при этом одновременно происходит примерно вдвое увеличение ширины главного лепестка спектрограммы. Несколько более оптимизировано окно Кайзера (Kaiser). Увеличение ширины главных лепестков при создании фильтров нижних частот ведет к увеличению переходной полосы (между полосами пропускания и задержания).

Оценочная функция Уэлча (Welch) . Метод состоит из деления последовательных данных времени в сегменты (возможно с перекрытием), далее обрабатывается каждый сегмент, а затем оценивают спектр путем усреднения результатов обработки сегментов. Для улучшения оценки могут использоваться непрямоугольные оконные функции, например окно Хэмминга. Увеличение числа сегментов уменьшает дисперсию, но при этом уменьшается разрешение метода по частоте. Метод дает неплохие результаты при малом превышении полезного сигнала над шумом и достаточно часто используется на практике.

На рис.33 приведены оценки гармонического состава для данных, содержащих узкополосые полезные сигналы и белый шум, при различных выборках (N=100, N=67), и использовании различных методов.

Рис. 33. Оценка гармоник сигнала для 1024 точечного FFT-преобразования

Параметрические методы используют авторегрессионные модели (AR). В методах строятся модели фильтров и с их помощью оценивают спектры сигналов. Все методы при наличии шума в сигнале дают смещенные оценки. Предназначены методы для обработки сигналов имеющих гармонические составляющие на фоне шума. Порядок метода (фильтра) задается в два раза больше, чем число гармоник, присутствующих в сигнале. Предложено несколько параметрических методов .

Метод Берга (Burg) дает высокую разрешающую способность по частоте для коротких выборок. При большом порядке фильтра спектральные пики расщепляются. Положение спектральных пиков зависит от начальных фаз гармонических.

Ковариационный (covariance) метод позволяет оценить спектр сигнала, содержащего сумму гармонических компонентов.

Метод Юла-Уоркера (Yule-Walker) дает хорошие результаты на длинных выборках и не рекомендуется для коротких выборок.

Корреляционные методы . Методы MISIC (Multiple Signal Classification) и EV (eigenvectors) выдают результаты в форме псевдоспектра. В основе методов лежит анализ векторов корреляционной матрицы сигнала. Эти методы дают несколько лучшее разрешение по частоте, чем автокорреляционные методы.

Наиболее важной характеристикой стационарных случайных процессов является спектральная плотность мощности, описывающая распределение мощности шума по частотному спектру. Рассмотрим стационарный случайный процесс, который может быть представлен беспорядочной последовательностью импульсов напряжения или тока, следующих друг за другом через случайные интервалы времени. Процесс со случайной последовательностью импульсов является непериодическим. Тем не менее, можно говорить о спектре такого процесса, понимая в данном случае под спектром распределение мощности по частотам.

Для описания шумов вводят понятие спектральной плотности мощности (СПМ) шума, называемой также в общем случае спектральной плотностью (СП) шума,которая определяется соотношением:

где P (f ) - усредненная по времени мощность шума в полосе частотf на частоте измеренияf .

Как следует из соотношения (2.10), СП шума имеет размерность Вт/Гц. В общем случае СП является функцией частоты. Зависимость СП шума от частоты называют энергетическим спектром , который несет информацию о динамических характеристиках системы.

Если случайный процесс эргодический, то можно находить энергетический спектр такого процесса по его единственной реализации, что широко используется на практике..

При рассмотрении спектральных характеристик стационарного случайного процесса часто оказывается необходимым пользоваться понятием ширины спектра шума. Площадь под кривой энергетического спектра случайного процесса, отнесенную к СП шума на некоторой характерной частоте f 0 , называютэффективной шириной спектра , которая определяется по формуле:

(2.11)

Эту величину можно трактовать как ширину равномерного энергетического спектра случайного процесса в полосе
, эквивалентного по средней мощности рассматриваемому процессу.

Мощность шума P , заключенная в полосе частотf 1 …f 2 , равна

(2.12)

Если СП шума в полосе частот f 1 ...f 2 постоянна и равнаS 0 , тогда для мощности шума в данной полосе частот имеем:
гдеf =f 2 -f 1 – полоса частот, пропускаемая схемой или измерительным прибором.

Важным случаем стационарного случайного процесса является белый шум, для которого спектральная плотность не зависит от частоты в широком диапазоне частот (теоретически – в бесконечном диапазоне частот). Энергетический спектр белого шума в диапазоне частот -∞ < f < +∞ дается выражением:

= 2S 0 = const, (2.13)

Модель белого шума описывает случайный процесс без памяти (без последействия). Белый шумвозникает в системах с большим числом простых однородных элементов и характеризуется распределением амплитуды флуктуаций по нормальному закону. Свойства белого шума определяются статистикой независимых одиночных событий (например, тепловым движением носителей заряда в проводнике или полупроводнике). Вместе с тем истинный белый шум с бесконечной полосой частот не существует, поскольку он имеет бесконечную мощность.

На рис. 2.3. приведена типичная осциллограмма белого шума (зависимость мгновенных значений напряжения от времени) (рис. 2.3а) и функция распределения вероятности мгновенных величин напряжения e ,которая является нормальным распределением (рис. 2.3б). Заштрихованная площадь под кривой соответствует вероятности появления мгновенных величин напряженияe , превышающих значениеe 1 .

Рис. 2.3. Типичная осциллограмма белого шума (а) и функция распределения плотности вероятности мгновенных величин амплитуды напряжения шума (б).

На практике при оценке величины шума какого-либо элемента или п/п прибора обычно измеряют среднеквадратичное шумовое напряжение в единицах В 2 или среднеквадратичный токв единицах А 2 . При этом СП шума выражают в единицах В 2 /Гц или А 2 /Гц, а спектральные плотности флуктуаций напряженияS u (f ) или токаS I (f ) вычисляются по следующим формулам:

(2.14)

где
и – усредненные по времени шумовое напряжение и ток в полосе частотf соответственно. Черта сверху означает усреднение по времени.

В практических задачах при рассмотрении флуктуаций различных физических величин вводят понятие обобщенной спектральной плотности флуктуаций. При этом СП флуктуаций, например, для сопротивления R выражается в единицах Ом 2 /Гц; флуктуации магнитной индукции измеряются в единицах Тл 2 /Гц, а флуктуации частоты автогенератора – в единицах Гц 2 /Гц = Гц.

При сравнении уровней шума в линейных двухполюсниках одного и того же типа удобно пользоваться относительной спектральной плотностью шума, которая определяется как

=
, (2.15)

где u – падение постоянного напряжения на линейном двухполюснике.

Как видно из выражения (2.15), относительная спектральная плотность шума S (f ) выражается в единицах Гц -1 .

В теории управления существуют и взаимно дополняют друг друга два подхода:

1) временнóй – исследование процессов во времени;

2) частотный – исследование частотных свойств сигналов и систем (с помощью передаточных функций и частотных характеристик).

Аналогичная ситуация наблюдается и при рассмотрении случайных процессов. Основная временная характеристика стационарного процесса – это корреляционная функция, а частотные свойства описываются спектральной плотностью.

Спектральная плотность – это функция, которая показывает распределение мощности сигнала по частотам. Такая информация о полезных сигналах, помехах и возмущениях очень важна для разработчика систем управления. Система должна быть спроектирована так, чтобы усиливать сигналы с «полезными» частотами и подавлять «вредные» частоты, характерные для помех и возмущений.

Для перехода от временнóго описания детерминированных (не случайных) процессов к частотному, используют преобразования Фурье и Лапласа. Аналогично спектральная плотность случайного процесса может быть найдена как преобразование Фурье от корреляционной функции:

Здесь – мнимая единица, а – угловая частота в рад/с ( , где – «обычная» частота в герцах). Используя формулу Эйлера, можно представить экспоненту в виде сумму вещественной (косинусной) и мнимой (синусной) составляющих: . Функция – нечетная по , поэтому интеграл от нее в симметричных пределах равен нулю. Напротив, функция – четная, так что при интегрировании можно взять интервал от 0 до и удвоить результат:

Спектральная плотность чем-то похожа на плотность распределения вероятностей, только она характеризует плотность распределения мощности сигнала по частотам. Если случайный процесс – это напряжение в вольтах, то его корреляционная функция измеряется в В 2 , а спектральная плотность – в В 2 /Гц.

Спектральная плотность случайного процесса, имеющего корреляционную функцию , вычисляется как

Интервал интегрирования разбит на две части. При имеем , а при – . Выполняя интегрирование, получаем

На рисунке слева показана корреляционная функция, а справа – соответствующая ей спектральная плотность мощности:

Свойства спектральной плотности:

1) это неотрицательная, четная функция угловой частоты (график расположен выше оси абсцисс и симметричен относительно вертикальной оси);

2) интеграл от на некотором интервале частот дает мощность, которая связана с этими частотами; поскольку функция – четная, результат интегрирования на нужно удвоить, чтобы учесть также и полосу ;

3) площадь под кривой определяет средний квадрат случайного процесса (для центрированного процесса он равен дисперсии):

Множитель нужен для согласования единиц измерения, поскольку угловая частота измеряется не в герцах, а в рад/с. Учитывая, что функция четная, можно интегрировать ее только при , а результат удвоить.