Цель работы:

изучение процессов прохождения гармонических сигналов и сигналов прямоугольной формы через линейные цепи, такие как дифференцирующая и интегрирующая цепи, последовательный и параллельный колебательные контуры, трансформатор;

изучение переходных процессов в линейных цепях;

получение навыка работы с измерительными приборами;

научиться выполнять расчеты RCL–цепей, используя символический метод;

обработка и анализ полученных экспериментальных данных.

Задачи:

измерить амплитудно-частотные характеристики семи линейных цепей;

измерить фазочастотные характеристики выше перечисленных линейных цепей;

получить и исследовать переходные характеристики семи линейных цепей;

1 Линейные цепи

В радиоэлектронике электрические цепи представляют собой совокупность соединенных схемных элементов, таких как резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы, операционные усилители, источники тока, источники напряжения и другие.

Соединяются схемные элементы с помощью проводов или печатных шин. Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, классифицируются по ряду признаков:

По энергетическим особенностям:

активные (содержащие источники питания);

пассивные цепи (не содержат источников тока и (или) напряжения);

По топологическим особенностям:

планарные (плоские);

непланарные;

разветвленные;

неразветвленные;

простые (одно-, двухконтурные);

сложные (многоконтурные, многоузловые);

По числу внешних выводов:

двухполюсники;

четырехполюсники;

многополюсники;

От частоты измерительного поля:

цепи с сосредоточенными параметрами (в цепях с сосредоточенными параметрами сопротивлением обладает только резистор, емкостью только конденсатор, индуктивностью только катушка индуктивности);

цепи с распределенными параметрами (в цепях с распределенными параметрами даже соединительные провода обладают емкостью, проводимостью и индуктивностью, которые распределены вдоль их длины; наиболее характерен такой подход к цепям в области сверхвысоких частот);

От типа элементов:

линейные цепи, если они состоят из линейных идеализированных элементов;

нелинейные цепи, если в состав цепи входит хотя бы один нелинейный элемент;

В данной работе рассмотрены пассивные цепи, состоящие из трех схемных элементов . Элементы
– называют идеализированными схемными элементами. Ток, протекающий через такие элементы, представляет собой линейную функцию от приложенного напряжения:

для резистора
:
;

для конденсатора :
;

для катушки индуктивности :

Поэтому цепи, состоящие из
элементов, называютсялинейными .

Строго говоря, на практике не все
элементы линейны, но во многих случаях отклонения от линейности невелико и действительный элемент можно принимать как идеализированный линейный. Активное сопротивление можно рассматривать как линейный элемент только в том случае, если текущий через него ток настолько мал, что выделяющееся тепло не приводит к заметному изменению величины его сопротивления. Аналогичные соображения можно высказать в отношении катушки индуктивности и конденсатора. Если параметры
цепи остаются неизменными в течение времени, когда протекает изучаемый электрический процесс, то говорят о цепи с постоянными параметрами.

Поскольку процессы в линейных цепях описываются линейными уравнениями, к ним применим принцип суперпозиции. Это значит, что результат действия в линейной цепи сигнала сложной формы можно найти как сумму результатов действий сигналов более простых, на которые разлагается исходный, сложный сигнал.

Для анализа линейных цепей используется два метода: метод частотных характеристик и метод переходных характеристик.

Передача сигналов по реальным каналам связи всегда сопровождается изменениями (преобразованиями) этих сигналов, в результате чего принятые сигналы отличаются от переданных. Отличия эти обусловлены, прежде всего, линейными и нелинейными преобразованиями входных сигналов, а также наличием аддитивных шумов в канале, существующих чаще всего независимо от передаваемых сигналов. С точки зрения передачи информации по каналу, важно подразделение преобразований сигнала на обратимые и необратимые. Как будет показано (см. § 4.2), обратимые преобразования не влекут за собой потери информации. При необратимых преобразованиях потери информации неизбежны. Для обратимых преобразований сигнала часто используют термин "искажение", а необратимые преобразования называют помехами (аддитивными и не аддитивными).

Примером простейшего детерминированного обратимого преобразования входного сигнала X(t), которое не меняет его форму, служит

Y(t) = kX(t-τ). (3.1)

В данном случае выходной сигнал канала Y(t) отличается от входного лишь известным масштабом k, который легко компенсируется соответствующим усилением или ослаблением сигнала и постоянной задержкой во времени τ. Она чаще всего невелика. По существу, лишь при связи в масштабах космоса или при очень большом числе реактивных элементов линии связи задержка может оказаться ощутимой * .

* (Здесь идет речь о задержке в самой линии связи, а не о задержках в демодуляторе и декодере, которые могут быть значительными и иногда лимитируют возможность повышения помехоустойчивости. )

Если входной сигнал X (t) в (3.1) узкополосный, его удобно представить в квазигармонической форме (2.68): X(t) = A(t)cos× X [ω 0 t+Φ(t)], где A(t) и Φ(t) -медленно меняющиеся функции. Поэтому при достаточно малой задержке т можно в первом приближении считать A (t-τ) ≈ A(t) и Φ(t-τ)≈Φ(t), а выходной сигнал в (3.1) записать следующим образом:

Y (t) = kA(t-τ) cos[ω 0 (t-τ) + Φ(t-τ) ≈ kА (t) cos[ω 0 t+Φ(t)-θ К ], (3.2)

где θ К =ω 0 τ - фазовый сдвиг в канале. Таким образом, при узкополосном сигнале малая задержка сводится к некоторому сдвигу фазы.

В реальных каналах связи, даже когда можно пренебречь аддитивным шумом, преобразования сигналов имеют сложный характер и обычно приводят к отличию формы выходного сигнала от входного.

Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняющимися параметрами) связано с решением задач двух типов:

определение корреляционной функции (энергетического спектра) отклика Y(t) на выходе динамической системы, заданной своими характеристиками по данной корреляционной функции (или энергетического спектра) входного воздействия X(t);

определение многомерного распределения отклика Y(t) на выходе заданной динамической системы по многомерному распределению входного воздействия X (t).

Вторая из указанных задач является более общей. Из ее решения, очевидно, может быть получено решение и первой задачи. Однако в дальнейшем в основном ограничимся кратким рассмотрением первой задачи и лишь укажем возможные пути решения второй, более сложной задачи.

Прохождение случайных сигналов через детерминированные линейные цепи. Как известно, линейная цепь с постоянными параметрами характеризуется своей импульсной реакцией g(t) или ее преобразованием Фурье-передаточной функцией k(iω). Если, например, на вход цепи поступает центрированный процесс X(t), то процесс Y (t) на выходе определяется интегралом Дюамеля *

В физически реализуемой цепи при t

* (Здесь и в дальнейшем интегрирование случайных процессов понимается в среднеквадратическом смысле [см. ф-лу (2.8)]. )

Найдем функцию корреляции центрированного выходного процесса Y (t):

где θ 1 = t 1 -τ 1 θ 2 = t 2 -τ 2 ; B X (θ 1 -θ 2) - функция корреляции входного сигнала.

Пусть входной процесс стационарен. Тогда B X (θ 1 -θ 2) = B(θ), где θ=θ 2 -θ 1 . Введем также обозначения t 2 -t 1 =τ, t 1 -θ 1 = τ 1 . Тогда t 2 -θ 2 = τ+τ 1 -θ и

где использована "временная функция корреляции" (ВФК) от неслучайной импульсной реакции

В данном случае β = τ - θ.

Из (3.4) видно, что при стационарном входном процессе и выходной процесс оказывается стационарным, так как B Y (t 1 ,t+τ) не зависит от t 1 . Поэтому можно записать

Полученное равенство является аналогом интеграла Дюамеля для корреляционных функций. Таким образом, ФК выходного процесса является интегральной сверткой ФК входного процесса и ВФК импульсной реакции цепи.

Заметим, что ВФК импульсной реакции связана преобразованием Фурье с квадратом модуля передаточной функции |k(iω)| 2 или амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) цепи. Действительно,

Из теории преобразования Фурье известно, что преобразование Фурье от свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье от этих функций. Применив это к (3.5), получим простое соотношение между спектральными плотностями стационарных процессов на входе и на выходе линейной цепи с постоянной передаточной функцией k (iω):

G Y (J) = G X (f)|k(i2πf)| 2 (3.7)

Из (3.5) и (3.7) следует, что ФК и спектр процесса на выходе цепи полностью определяются ФК или спектром процесса на входе и АЧХ цепи, т. е. не зависят ни от распределения вероятностей входного процесса, ни от фазо-частотной характеристики цепи.

Рассмотрим пример прохождения случайных процессов через детерминированные линейные системы - прохождение белого шума с энергетическим спектром N 0 через последовательный колебательный контур с параметрами R, L, С. Если выходное напряжение снимается с емкости, то комплексный коэффициент передачи контура

Резонансная частота,

В области малых расстроек |k(ω)| 2 = ω 2 0 /{4[β 2 + (ω-ω 0) 2 ]}, β = R/(2L), и согласно (3.7) энергетический спектр на выходе

G Y (ω) = N 0 ω 2 0 /{4[β 2 + (ω - ω 0) 2 ]}.

Корреляционная функция на выходе

При подаче сигнала X(t) на детерминированную линейную цепь с переменными параметрами выходной сигнал Y(t). как известно, можно выразить интегралом свертки:

где g(t, τ) - функция двух переменных, определяющая реакцию системы в момент t на δ-импульс, поданный на вход в момент t-τ.

представляет передаточную функцию линейной цепи с переменными параметрами, которая, естественно, является функцией не только частоты, но и времени.

Поскольку в физически реализуемой цепи отклик не может возникнуть раньше воздействия, то g(t, τ)=0 при τ

Задача нахождения распределения вероятностей отклика линейной системы при произвольном случайном воздействии оказывается в общем случае весьма сложной, даже если ограничиться нахождением одномерного распределения. Отметим, однако, что если на вход линейной детерминированной системы подан гауссовский процесс, то и процесс на выходе оказывается гауссовским, что следует из известных свойств нормального распределения, которое остается нормальным при любых линейных преобразованиях. Если процесс на входе не гауссовский, то при прохождении линейной системы его распределение вероятностей меняется иногда весьма существенно.

Отметим общее свойство, присущее линейным системам. Если полоса частот F С, занимаемая входным сигналом X(t), много шире полосы пропускания данной линейной системы, то распределение выходного процесса имеет тенденцию приближаться к нормальному. Это можно грубо пояснить, исходя из (3.8). Узкая полоса пропускания означает, что длительность импульсной реакции g(t, τ) как функции τ велика по сравнению с интервалом корреляции входного процесса X(t). Поэтому сечение выходного процесса Y(t) в любой момент t определяется интегралом (3.8), в подынтегральную функцию которого с достаточно большим весом входит много некоррелированных между собой сечений процесса X(t). Распределение вероятностей такого интеграла согласно центральной предельной теореме должно быть близким к нормальному, тем ближе, чем больше отношение ширины спектра входного сигнала к полосе пропускания цепи. В предельном случае, если на вход цепи воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна, а цепь имеет ограниченную полосу пропускания, то выходной процесс будет строго гауссовским.

Прохождение узкополосных случайных сигналов через линейные полосовые цепи. Как отмечалось в § 2.4, относительно узкополосные процессы (т. е. такие, у которых ширина спектра значительно уже средней частоты) удобно представлять в квазигармонической форме (2.68). Если средняя частота ω 0 задана, то такой узкополосный сигнал полностью определяется своей комплексной огибающей A(t) (2.70) или ее действительной и мнимой частями (квадратурными составляющими) A C (t) и A S (t), которые являются низкочастотными процессами, т. е. их спектры занимают область частот более низких, чем спектр самого сигнала. Такое представление во многих случаях, на этапах синтеза и анализа систем передачи сигналов (сообщений), очень полезно. Так, для представления (2.72) на интервале Т рядом Котельникова потребуется 2T(f 0 + F) отсчетов, для представления же на том же интервале Т двух независимых низкочастотных вещественных функций A C (t) и A S (t) (или одной комплексной функции A(t)), достаточно 4FT отсчетов, т. е. примерно в f 0 /2F раз меньше.

Заметим также, что при необходимости моделировать узкополосные сигналы и систему связи с такими сигналами на вычислительной машине или при необходимости реализации различных преобразований таких сигналов на основе современной микроэлектронной базы, возникают трудности, чаще всего практически непреодолимые, из-за ограниченного быстродействия этих машин или соответствующих микросхем. Естественно, что значительно проще в этих случаях оперировать низкочастотными эквивалентами сигналов, которыми являются составляющие огибающей.

Выражение для низкочастотного эквивалента Ȧ x (t) узкополосного сигнала (2.72), определяемое из (2.70,а):

А Х (t) = X(t) ехр [-iω 0 t]

имеет согласно (2.32) спектр по Фурье

S Ȧ X (iω) = Sx.

Рисунок 3.1 иллюстрирует спектральные соотношения для вещественного узкополосного сигнала X * (t) (рис. 3.1,а), аналитического сигнала X (t) (рис. 3.1,6) и его низкочастотного эквивалента А̇ Х (t) (рис. 3.1,в).

* (Полезно напомнить, что спектр S X (iω) вещественного сигнала X(t) симметричен относительно начала координат, S * X (-iω) = S X (iω) (т. e. амплитудный спектр - четная функция частоты, а фазовый - нечетная, или вещественная часть S X (iω) - четная функция частоты, а мнимая - нечетная). )

Основная часть реальных непрерывных каналов связи относится к линейным и узкополосным, поэтому сигналы на их выходе могут рассматриваться как реакция на узкополосный сигнал Х(t) полосового фильтра с передаточной функцией k(iωt), модуль которой имеет характер рис. 3.1,а. Преимущества представления сигналов с помощью низкочастотного эквивалента (комплексной огибающей) возникают вследствие того, что полосовую фильтрацию узкополосного сигнала можно интерпретировать как фильтрацую комплексных низкочастотных сигналов комплексными же низкочастотными фильтрами.

Рассмотрим прохождение узкополосного сигнала X(t) через узкополосный канал (полосовой фильтр) с постоянными параметрами и передаточной функцией k(iω) (рис. 3.2,а).

Узкополосный входной сигнал (2.72)

Учитывая предшествующую сноску, нетрудно показать, что спектр сопряженной комплексной огибающей A * X (t) = A C (t) - iA S (t) равен S * Ȧ X (-iω), где (iω) - спектр по Фурье от A X (t). Поскольку умножению функции времени на е ±itω 0 соответствует сдвиг спектра по оси частот на ±ω 0 , то для спектра Фурье функции X(t), определяемой (3.10), можно записать

Аналогично полагая, что средняя частота входного сигнала ω 0 совпадает с центральной частотой пропускания фильтра, можно представить передаточную функцию полосового фильтра (преобразование Фурье импульсной реакции фильтра g(t) *

где Γ -спектр Фурье комплексного (аналитического) сигнала ġ(t) = g(t) +ig̃(t) = γ̇(t)e itω 0 образованного из g(t). Величина Γ(iω) является спектральной характеристикой комплексной огибающей γ̇(t) импульсной реакции фильтра g(t), т. е. низкочастотным эквивалентом узкополосного канала.

* (Отметим, что функции Γ и Γ*[-i(ω+ω 0)], будучи по модулю симметричными относительно оси ординат для полосового фильтра не перекрываются, так как первая практически целиком лежит в области положительных частот, а вторая отрицательных. Аналогичное утверждение справедливо и для функций S Ā и S* Ȧ [-i(ω+ω 0)] узкополосного сигнала. )

Теперь найдем спектр Фурье сигнала на выходе канала y(t). С одной стороны, поскольку этот сигнал узкополосный со средней частотой спектра ω 0 , можно аналогично (3.11) записать

где S Ȧ y - спектр Фурье комплексного (аналитического) сигнала ẏ(t) = y(t) + iȳ(t) = Ȧ y e itω 0 , при этом S Ȧ y (iω) является спектром комплексной огибающей Ay(t) выходного сигнала. С другой стороны, для линейной системы с постоянными параметрами спектральные характеристики сигналов на входе и выходе связаны соотношением

S y (i ω) - Sx (iω)k(iω). (3.14)

Подставляя в (3.14) соотношения (3.11) и (3.12) и учитывая сноску на стр. 78, получаем

Из (3.13) и (3.15)

Как следствие комплексная огибающая сигнала на выходе узкополосного канала A y (t) получается как свертка комплексной огибающей входного сигнала A x (t) и комплексной огибающей импульсной реакции фильтра γ̇(t)

Если фильтр неискажающий, т. е. Γ(iω) = γe -it 0 ω или ġ(t) = γδ(t-t 0), то, используя фильтрующее свойство б-функции, из (3.17) получим

Запишем комплексные огибающие через синфазные и квадратурные компоненты:

Ȧ X (t) = A X,C (t) + iA X,S (t);

γ̇(t) = γ C (t) + iγ S (t);

Ȧ y (t) = A Y,C (t) + iA Y,S (t), (3.18)

Тогда из (3.17)

В частной области соотношения (3.19) принимает вид:

Итак, полосовая фильтрация с передаточной функцией k (iω) узкополосного

процесса x(t) эквивалентна низкочастотной фильтрации с передаточной функцией Γ(iω) комплексного низкочастотного процесса Ȧ x (t) (см. рис. 3.2).

Процессы А Х,С и А Х,S можно получить из x(t) в устройстве, функциональная схема которого представлена на рис. 3.3,а. Действительно, умножая x(t) на 2cos ω 0 t получим

[ A X,С (t) cos ω 0 t + A X,S (t) sin ω 0 t] 2 cos ω 0 t = A X,C (t) + A X,C (t) cos 2 ω 0 t + A X,S (t) sin 2ω 0 t, (3.21)

а ФНЧ пропустит только первый низкочастотный остальные два члена являются высокочастотными и будут фильтром задержаны. Аналогично во второй ветви выделится квадратурная составляющая A X,S (t).

Теперь рассмотрим, как можно реализовать комплексную низкочастотную фильтрацию (3.19) или (3.20) три помощи реальных низкочастотных фильтров (у такого фильтра отклик на вещественный сигнал вещественен или передаточная функция удовлетворяет условию сноски на стр. 77), оперируя квадратурными составляющими. Это осуществляется согласно (3.19) или (3.20) двухканальной фильтрацией вещественных низкочастотных синфазной и квадратурной компонент (рис. 3.3,6).

Прохождение случайных сигналов через нелинейные цепи. Ограничимся рассмотрением только безынерционных нелинейных систем с регулярными параметрами, у которых вход и выход связаны некоторой нелинейной зависимостью, называемой характеристикой системы:

y(t) = φ, (3.22)

Соотношением (3.22) достаточно точно может охарактеризована работа ряда звеньев реальных каналов связи, например входящих в состав демодуляторов, ограничителей, модуляторов и т. п. Преобразование x(t)→y(t), как правило, однозначно, что не всегда можно сказать об обратном преобразовании y(t)→x(t) (например, квадратичная цепь с характеристикой y = kx 2). В силу неприменимости суперпозиции к нелинейным системам рассмотрение сложного воздействия (например, суммы детерминированного и случайного слагаемых) нельзя свести к рассмотрению прохождения каждой из составляющих в отдельности.

При нелинейных преобразованиях возникает трансформация (изменение) спектра входного воздействия. Так, если на вход нелинейной системы воздействует смесь регулярного сигнала и аддитивного шума X(t) = u(t) + N(t) в узкой полосе частот F c , группирующейся около средней частоты f 0 , то в общем случае на выходе будут присутствовать составляющие комбинационных частот трех видов, группирующиеся около частот nf 0 (n = 0, 1,...), продукты биений составляющих входного сигнала между собой (с×с), продукты биений составляющих входного шума (ш×ш); продукты биений сигнала и шума (с×ш). Разделить их на выходе системы обычно невозможно.

Если известны характеристика y = φ(х) нелинейной системы и двумерная функция распределения входного воздействия w(x 1 , х 2 , t 1 , t 2), то основные статистические характеристики выходного процесса, в принципе, всегда можно определить. Так, математическое ожидание отклика

а его корреляционая функция

Обратным преобразованием Фурье можно по (3.24) найти и энергетический спектр.

Используя правила нахождения законов распределения для функций от случайных величин (случайных процессов), можно, в принципе, находить и распределение выходного процесса любого порядка, если известно распределение входного процесса. Однако определение вероятностных характеристик отклика нелинейных систем (цепей) даже на стационарные входные воздействия оказывается весьма громоздким и сложным, несмотря на то, что для решения этой задачи разработан ряд специальных приемов. Во многих случаях, особенно для узкополосных сигналов, эти расчеты существенно упрощаются при использовании квазигармонического представления процесса.

В качестве примера рассмотрим прохождение через квадратичный детектор суммы гармонического сигнала s(t) = U 0 cos ω 0 t и стационарного квазибелого узкополосного шума n(t) = Х cn (t) × X cos ω 0 t + X sn sin ω 0 t, где X cn (t), X sn (t) - не коррелированные квадратурные гауссовские компоненты шума, у которых m Х сп = m X sn = 0, В X cn (τ) = В X sn (τ) = В(τ), а энергетический спектр равномерен и ограничен полосой частот F n

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотно­стью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Опреде­лим характеристики процес­са на выходе системы: и

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реали­зации процесса на входе являются детерминированными функ­циями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть

усе­чённая реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

Её спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (1.3) бу­дет определяться выражением

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристи­ки системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

Следовательно, при воздействии случайного стационарного про­цесса на Линейную систему на выходе получается также ста­ционарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (2.3) и (2.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

В качестве первого примера рассмотрим прохождение бе­лого шума со спектральной плотностью через иде­альный фильтр нижних частот, для которого

Согласно (2.3) энергетический спектр процесса на выходе бу­дет иметь равномерную в полосе частот спектральную плотность , а корреляционная функция будет опре­деляться выражением

Мощность случайного процесса на выходе идеального фильтра нижних частот будет равна

В качестве второго примера рассмотрим прохождение бе­лого шума через идеальный полосовой фильтр, амплитудно-час­тотная характеристика которого для положительных частот (рис. 1.6) определяется выражением:

Корреляционную функцию определим с помощью косинус-пре­образования Фурье:

График корреляционной функции показан на рис. 1.7

Рассмотренные примеры показательны с той точ­ки зрения, что они под­тверждают установлен­ную в § 3.3 связь между корреляционными функциями низкочастот­ного и узкополосного высокочастотного процес­сов с одинаковой фор­мой энергетического спектра. Мощность процесса на выходе идеального полосового фильтра будет равна

Закон распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной инерционной системы отличается от зако­на распределения на входе, и определение его является весь­ма сложной задачей, за исключением двух частных случаев, на которых здесь остановимся.

Если случайный процесс воздействует на узкополосную линейную систему, полоса пропускания которой много меньше его ширины спектра, то на выходе системы имеет место яв­ление нормализации закона распределения. Это явление заклю­чается в том, что закон распределения на выходе узкополосной системы стремится к нормальному независимо от того, какое распределение имеет широкополосный случайный процесс на входе. Физически это можно объяснить следующим образом.

Процесс на выходе инерционной системы в некоторый мо­мент времени представляет собой суперпозицию отдельных откликов системы на хаотические воздействия входного про­цесса в различные моменты вре мени. Чем уже полоса про­пускания системы и шире спектр входного процесса, тем боль­шим числом элементарных откликов образуется выходной про­цесс. Согласно же центральной предельной теореме теории вероятностей закон распределения процесса, представляюще­го собой сумму большого числа элементарных откликов, бу­дет стремиться к нормальному.

Из приведенных рассуждений следует второй частный, но весьма важный случай. Если процесс на входе линейной системы имеет нормальное (гауссово) распределение, то он остается нормальным и на выходе системы. В этом случае изменяются только корреляционная функция и энергетический спектр процесса.

В гл. 6 рассматривалась передача различных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между входным и выходным сигналами в таких цепях определялась с помощью передаточной функции (спектральный метод) или с помощью импульсной характеристики (метод интеграла наложения).

Аналогичные соотношения можно составить и для линейных цепей с переменными параметрами. Очевидно, что в подобных цепях характер зависимости между входным и выходным сигналами в процессе передачи изменяется. Иными словами, передаточная функция цепи зависит не только от но и от времени; импульсная характеристика также зависит от двух переменных: от интервала между моментом приложения единичного импульса и моментом наблюдения выходного сигнала t (как и для цепи с постоянными параметрами) и, кроме того, от положения интервала на оси времени. Поэтому для цепи с переменными параметрами импульсную характеристику следует записывать в общей форме

Если на входе четырехполюсника с импульсной характеристикой действует произвольный сигнал s(t) (рис. 10.2), то, основываясь на принципе суперпозиции, выходной сигнал по аналогии с выражением (6.11) можно определить с помощью выражения

(10.12)

Постараемся теперь ввести передаточную функцию для цепи с переменными параметрами. Для этого представим функцию в виде интеграла Фурье:

(10.13)

где - спектральная плотность сигнала s(t).

Тогда выражение (10.13) переходит в следующее:

Рис. 10.2. Параметрический четырехполюсник

Обозначив внутренний интеграл через перепишем последнее выражение следующим образом:

(10.14)

Из (10.14) следует, что функцию определяемую выражением

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. П. ОГАРЁВА»

ФАКУЛЬТЕТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

Кафедра «АВТОМАТИКА»

М. В. ИЛЬИН

с. с. КАПИТОНОВ

Авторы-составители: заведующий кафедрой «Автоматика», канд. техн. наук, доцент кафедры «Автоматика», канд. техн. наук, преподаватель кафедры «Автоматика» , доцент кафедры «Автоматика» .

Прохождение сигналов различной формы через линейные RC -цепи: лаборатораторный практикум / Н. Н. Беспалов, М. В. Ильин, . - Саранск: Ковылк. тип., 2012. - 24 с.

ISBN ___________

Содержатся теоретические сведения и методические указания к выполнению лабораторной работы «Прохождение сигналов различной формы через линейные RC -цепи» по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника». Предназначено для студентов направлений подготовки «Электроника и наноэлектроника», «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», «Электроэнергетика и электротехника » и «Приборостроение». Однако данным пособием смогут пользоваться студенты и других специальностей связанных с электротехникой, электроникой и радиотехникой.

Печатается по решению научно-методического совета Мордовского государственного университета им. ёва.

УДК 621.391.3.011.71(076)

ББК Б534

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий лабораторный практикум содержит описание первой лабораторной работы, которая проводится при изучении студентами дневной и заочной форм обучения импульсных цепей в рамках курса «Электронные цепи и микросхемотехника».

Основной целью данной работы является изучение процессов передачи импульсов различной формы через RC -цепи.

Поскольку выполнение лабораторных работ по изучаемому курсу часто опережает лекционное изложение соответствующих разделов, в описании работы введены теоретические приложения, которые могут служить учебными пособиями к соответствующим разделам курса, а также пособиями по курсовому проектированию и типовым расчетам.

Однако использование для подготовки к лабораторной работе только одного теоретического приложения является недостаточным. Необходимо изучение соответствующих разделов в литературе, приведенной в конце сборника.

При подготовке к очередной работе студент обязан ознакомиться с описанием работы, теоретическим пособием, указанной литературой, а также выполнить предварительное расчетное задание.

Отчёт по работе должен содержать изучаемые схемы, выполненное предварительное расчетное задание и полученные результаты. Отчет должен быть оформлен аккуратно на листах стандартного размера А4, а также представлен в электронном виде.

Порядок прохождения данной лабораторной работы следующий.

1. Группа студентов, приступающая к выполнению лабораторных работ, должна пройти инструктаж по общим правилам поведения в данной лаборатории и по правилам техники безопасности , о чем делается запись в соответствующем журнале с росписью каждого студента.

2. Перед очередным занятием каждый студент сдает коллоквиум по текущей работе. Если студент не готов к работе или не выполнил предварительное расчетное задание, то он к работе не допускается.

3. На следующем занятии после выполнения работы , студент должен предъявить оформленный отчёт по выполненной работе и защитить работу.

Студенты, не защитившие двух работ к моменту выполнения очередной работы, к занятиям не допускаются. Оформление отчёта по работе проводится каждым студентом.

Все лабораторные работы по изучаемому курсу рассчитаны на четырехчасовое занятие в аудитории и четырехчасовую домашнюю подготовку.

1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Линейными цепями называются цепи, состоящие из совокупности линейных элементов, т. е. элементов, номинальные значения которых не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Для всех линейных цепей применим принцип суперпозиции. Например, для описания процессов в линейных цепях можно использовать методы, основанные на применении интеграла Дюамеля, или методы гармонического анализа. Рассматриваемые RC -цепи используются во многих практических схемах в качестве функциональных преобразователей. В зависимости от структуры и соотношения параметров элементов RC -цепи могут использоваться для дифференцирования (фильтр высоких частот) или интегрирования (фильтр низких частот) входных сигналов.

Для анализа переходных процессов в импульсных цепях используются классический, операторный, частотный методы, а также метод интеграла Дюамеля (суперпозиционный метод).

Классический метод . При расчете переходных процессов этим методом входной сигнал представляется в виде функции U вх (t ), а исследуемая RC-цепь описывается дифференциальным уравнением (ДУ), устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями, параметрами элементов схемы и внешним воздействием. При составлении ДУ используют ряд законов и теорем, определяющих связь между напряжениями и токами. Основными из них являются закон Ома, коммутации, Кирхгофа и теорема об эквивалентном генераторе.

Во многих случаях при анализе переходных процессов эквивалентная схема исследуемой цепи описывается ДУ первого порядка с постоянной правой частью:

где τ -постоянная времени, характеризующая инерционность цепи; x(t) -искомая величина (ток, напряжение); Z 0 - внешнее возмущающее воздействие.

Общее решение уравнения (1) имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image003_175.gif" width="93" height="29 src=">,

где А - постоянная интегрирования (находится из начальных условий); р - корень характеристического уравнения https://pandia.ru/text/78/069/images/image005_134.gif" width="63" height="48 src=">.

Таким образом, общее решение ДУ (1) запишется в виде:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image007_114.gif" width="40" height="20"> и , найдем:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image011_83.gif" width="123" height="24 src=">.

Следовательно, решение ДУ (1) можно записать в виде

https://pandia.ru/text/78/069/images/image013_87.gif" width="181" height="60 src=">. (3)

Для конкретной RC-цепи определяют операторный коэффициент передачи К(р) , затем находят изображение выходного напряжения и по функции U вых (р) определяют оригинал U вых (t ) , используя обратное преобразование Лапласа:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23 src=">определяется по формуле:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image017_73.gif" width="248" height="56 src=">.

Если знаменатель изображения U вых (р) имеет наряду с простыми корнями р 1, р 2 …, р n корень р n+1 кратности a, т. е. изображение U вых (р ) записывается в виде дроби:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23">будет функция:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12 height=23" height="23">Частотный способ . При использовании этого метода входной сигнал U вх (t )на основании прямого преобразования Фурье представляется в виде частотного спектра U вх (j w ). Затем находится комплексный коэффициент передачи К (j w )https://pandia.ru/text/78/069/images/image020_61.gif" width="244" height="60 src=">.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23 src=">сложной формы. Выходное напряжение находят из выражения:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image022_36.jpg" width="507" height="353 src=">

Рисунок 1 - Прохождение ступеньки напряжения через RC -цепь.

Входной сигнал можно записать в виде

0 при t < 0

U вх (t )= Um при t > 0.

При использовании классического метода необходимо составить ДУ RC -цепи. Согласно второму закону Кирхгофа можно записать:

U вых (t ) = U c(t ) + U вх (t ). (4)

При подаче входного сигнала через ёмкость С протекает ток i (t ) и напряжение на ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image025_52.gif" width="237" height="60 src=">.

Учитывая, что Ri (t ) = U вых (t ), и дифференцируя правую и левую части этого уравнения, получим:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image027_46.gif" width="212" height="43 src=">.

Подставив в полученное уравнение значение U вх (t ), для выходного напряжения получим:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image029_48.gif" width="289 height=49" height="49">.

Для нахождения выражения U вых (t ) в данном случае можно воспользоваться уравнением (3), которое запишутся в виде:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image031_40.gif" width="67" height="25 src="> - выходное напряжение при t = ∞ (после окончания переходного процесса, т. е. при = 0); U вых (0) - выходное напряжение при t = 0, (в момент коммутации, когда U вых(0) = Um ).

Следовательно, выходное напряжение определится как:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image033_39.gif" width="104" height="52">. Операторный коэффициент передачи К (р ) для данной RC-цепи определится следующим образом:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image028_48.gif" width="129" height="47">.

Прохождение через RC -цепь импульса прямоугольной формы . На рисунке 2а изображена RC -цепь, на вход которой подается прямоугольный импульс с амплитудой Um и длительностью. Входной сигнал можно представить в виде двух разнополярных перепадов напряжения величиной Um , сдвинутых друг относительно друга на время t и (рисунок 2б).

При 0< t < t и

U вх (р)= https://pandia.ru/text/78/069/images/image039_37.gif" width="18" height="151 src=">.gif" width="151" height="72 src="> при t и > 0,

а затем, используя обратное преобразование Лапласа, находим временную функцию U вых (t ):

При 0< t < t и

U вых (t )= при t и > 0.

Форма выходного импульса зависит от соотношения t и и τ . На рисунке 3а приведена форма выходного сигнала при τ << t и , а на рисунке 3б изображен выходной сигнал при τ >> t и . Из рисунка видно, что в случае, если RC -цепь должна передавать прямоугольный импульс без искажения, то нужно выбирать соотношение τ >> t и . Для оценки искажений вершины импульса используют относительный спад вершины импульса Δ:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image046_20.jpg" width="597" height="285 src=">

Рисунок 3 - Форма выходного сигнала для различных t .

Аналогично можно определить форму выходного сигнала для RC -цепи, изображенной на рисунке 4а (интегрирующая RC -цепь). Из рисунка 4б видно, что для передачи импульса с минимальными искажениями фронта необходимо выбирать τ << t и .

https://pandia.ru/text/78/069/images/image048_18.jpg" width="376" height="261">

Рисунок 5 - К определению длительности фронта импульса.

Прохождение через RC -цепь линейно-нарастающего напряжения . На рисунке 6 представлена RC -цепь, на вход которой поступает линейно-нарастающее напряжение U вх (t ) =kt , где k = tgα - коэффициент пропорциональности.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image050_24.gif" width="221" height="25 src=">.gif" width="31 height=43" height="43"> можно представить в виде ряда:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image054_22.gif" width="323" height="55 src=">.

Отсюда видно, что при малых значениях t (t <<τ ) выходное напряжение практически совпадает с входным, т. е. U вых (t ) ≈ kt .

Искажение формы выходного сигнала:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image056_21.gif" width="141" height="48 src="> - нижняя граничная частота, определяемая при спаде частотной характеристики, равном 3 дб. Например, для передачи напряжения развертки с длительностью 2 мс и отклонением от линейности не более 0,1% из последнего уравнения находим, что необходимо иметь f н < 0,16 Гц или RC = τ > 1с.

При t >> τ выходное напряжение стремится к постоянной величине kτ . Напряжение на ёмкости С может быть найдено следующим образом:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image058_11.jpg" width="369" height="314">

Рисунок 7 - Представление напряжения трапециидальной формы в виде четырех линейно-нарастающих сигналов.

Резисторные делители с несколькими входами. Пример схемы многовходового делителя приведён на рисунке 8.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image060_22.gif" width="269" height="64 src=">,

В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/069/images/image064_18.gif" width="253" height="60 src=">,

https://pandia.ru/text/78/069/images/image067_19.gif" width="21" height="25 src=">, но и от числа слагаемых напряжений, соотношения величин сопротивлений связи и сопротивления нагрузки .

Рисунок 9 - Резисторный делитель, нагруженный ёмкостью C .

При передаче импульса через такой делитель происходит растягивание его фронтов, обусловленное процессами заряда и разряда конденсатора С , и уменьшение его амплитуды, обусловленное наличием делителя (https://pandia.ru/text/78/069/images/image072_18.gif" width="165" height="29 src=">

и амплитудой:

DIV_ADBLOCK157">

https://pandia.ru/text/78/069/images/image075_17.gif" width="128" height="49 src=">.

Резисторно-ёмкостные делители. В ряде случаев для передачи перепадов входного напряжения выход резистора https://pandia.ru/text/78/069/images/image077_4.jpg" width="511" height="377 src=">

Рисунок 9 - Прохождение прямоугольного импульса через резисторно-ёмкостной делитель.

Пусть на вход такого делителя подан прямоугольный импульс напряжения с амплитудой Е , причём будем считать, что источник входных импульсов - идеальный, лишённый внутреннего сопротивления, и, следовательно, способный развивать бесконечно большую мощность.

В момент коммутации (t = 0) происходит бесконечно большой скачок тока через ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image079_17.gif" width="24" height="23">, и в результате на ёмкостях получаются мгновенные конечные скачки напряжения и https://pandia.ru/text/78/069/images/image082_18.gif" width="273" height="55 src=">,

где и - заряды на конденсаторах и в момент t . При t = 0 = , так как при t = 0 ток проходит только через ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image079_17.gif" width="24" height="23 src="> то:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image088_12.gif" width="336" height="60 src=">,

https://pandia.ru/text/78/069/images/image091_11.gif" width="205" height="55 src=">. и до начальных (при t > 0) уровней напряжения.

В некоторых устройствах (например, в мультивибраторах) в резисторно-ёмкостном делителе резистор https://pandia.ru/text/78/069/images/image111_9.gif" width="64" height="23 src=">.

На практике используются и резисторно-ёмкостные делители с несколькими входами.

2 РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ

Цель работы : Исследование влияния параметров RC -цепей на искажение формы передаваемых импульсов.

1. По заданию преподавателя для одной из представленных на рисунке 10 схем и выбранных величин параметров элементов рассчитать относительный спад вершины и длительности фронта выходного сигнала при подаче на вход однополярного прямоугольного импульса.

2. Для выбранной RC -цепи и параметров ее элементов рассчитать искажение формы выходного сигнала при подаче на вход линейно-нарастающего напряжения (пилообразного импульса).

3. Для выбранной схемы создать модель в Multisim. Экспериментально с помощью виртуального осциллографа определить величины параметров выходных импульсов, приведённых в пунктах 1 и 2, и сравнить их с расчётными величинами. Сохранить в виде графических файлов осциллограммы входных и выходных импульсов для последующего формирования отчёта.

4. В созданной в пункте 3 модели заменить источник входного сигнала на источник сигнала сложной формы. Варианты сложных сигналов приведены на рисунке 11. Форма сигнала задаётся преподавателем. Результаты моделирования привести в отчёте в виде осциллограмм входного и выходного сигнала.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image113_3.jpg" width="604" height="527 src=">

Рисунок 11 - Входные сигналы различной формы.

3 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте основные принципы классического метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

2. Сформулируйте основные принципы операторного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

3. Сформулируйте основные принципы частотного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

4. Какие цепи называют линейными?

5. В чем заключается принцип суперпозиции при анализе сигналов сложной формы?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Улахович теории линейных электрических цепей / . - СПб. : БХВ-Петербург, 2009. - 816 с.

2. Белецкий линейных электрических цепей. Издание 2 / - М. : Лань, 2011. - 544 с.

3. Колонтаевский: Учеб. пособие для СПТУ / . - М. : Высш. шк., 1988. -304 с.

4 Радиотехника: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / , . - М. : Просвещение, 1986. -319 с.

5. Гольденберг устройства / . М. : Радио и связь, 1981. - 221 с.

6. Гоноровский цепи и сигналы: Учебник для вузов. 4-изд., пераб. и доп. / . М. : Радио и связь, 1988. -512 с.

	предисловие ……………………………………………………….
	Краткие теоретические сведения …………………………………
	Рабочее задание ……………………………………………………
	Контрольные вопросы ……………………………………………
	Библиографический список ………………………………………

ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ

РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ

ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ RC -ЦЕПИ

Лабораторный практикум

по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника»

Учебное издание

Б. И. ПЕТРОВ

Авторы-составители: Н. Н. БЕСПАЛОВ, М. В. ИЛЬИН,

С. С. КАПИТОНОВ, .

Печатается в соответствии с предоставленным

оригинал-макетом

Сдано в набор __.11.2012. Подписано в печать __.12.2012.

Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Формат 60х84 1/16.

Уч.-изд. л. 0,00 Усл. печ. л. ___. Тираж 100 экз.

Мордовский государственный университет им. ёва

Отпечатано в Ковылкинской типографии Министерства печати и информации Республики Мордовия