16 Математические схемы моделирования систем.

Основные подходы к построению математических моделей системы. Непрерывно-детерминированные модели. Дискретно-детерминированные модели. Дискретно-стохастические модели. Непрерывно-стохастические модели. Сетевые модели. Комбинированные модели.

Основные подходы к построению математических моделей системы.

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S.

Математические схемы

Отображаются реальные процессы в виде конкретных схем. Мат. схемы – переход от содержательного описания к формальному описанию системы с учетом воздействия окружающей среды.

Формальная модель объекта

Модель объекта моделирования,

т. е. системы S, можно представить в виде множества величин,

описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих

в общем случае следующие подмножества:

· совокупность входных воздействий на систему

х i ,еХ,(e -символ принадлежит) i =1; nx

· совокупность воздействий внешней среды

v l e V l=1;nv

· совокупность внутренних (собственных) параметров системы

hkeH k=1;nh

· совокупность выходных характеристик системы

yJeY j=1;ny

Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

При моделировании систем входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры содержат и детерминированные и стохастические составляющие.

входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором Fs, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида:

y (t)=Fs(x ,v, h,t) – все с ве k торами.

Закон функционирования системы Fs может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Понятие алгоритма функционирования As - метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий, воздействий внешней среды и собственных параметров системы.

Также вводятся состояния системы – свойства системы в конкретные моменты времени.

Совокупность всех возможных значений состояний составляют пространство состояний объекта.

Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход - состояния - выход» позволяет определить характеристики системы:

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {х (t),v (t), h (t)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками у (t).

Типовые схемы

На первоначальных этапах исследования используются типовые схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени,- конечные автоматы и конечно-разностные схемы.

В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем - системы массового обслуживания и т. д.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

Непрерывно-детерминированные модели

Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве Мат. моделей дифференциальные уравнения .

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.

Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются - уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

Дискретно-детерминированные модели.

ДДМ являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА) . ТА - раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами.

Конечный автомат имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой: F=,

где z, x,y - соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z0ÎZ - начальное состояние; j(z, x) - функция переходов; y(z, x) - функция выхода.

Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.

Для задания F - автомата необходимо описать все элементы множества F=, т. е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F - автоматов наиболее часто используются табличный, графический и матричный способ.

В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям.

Описание работы F - автомата Мили таблицами переходов j и выходов y иллюстрируется таблицей (1), а описание F - автомата Мура - таблицей переходов (2).

Таблица 1

Переходы
…………………………………………………………
…………………………………………………………

Таблица 2

…………………………………………………………

Примеры табличного способа задания F - автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 3, а для F - автомата Мура F2 - в таблице 4.

Таблица 3

Переходы

Таблица 4

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi с вершиной zj обозначается xk. Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами.

Рис. 1. Графы автоматов Мили (а) и Мура (б).

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=|| cij ||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода.

Пример. Для рассмотренного ранее автомата Мура F2 запишем матрицу состояний и вектор выходов:

;

Дискретно-стохастические модели

Пусть Ф – множество всевозможных пар вида (zk, yi), где уi – элемент выходного

подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал

на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

Информационные сети" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д.

При этом характерным для

работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на

обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени,

т. е. стохастический характер процесса их функционирования.

Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщённая структура СМО приведена на рисунке 3.1.

Рис. 3.1. Схема СМО.

Поступающие на вход СМО однородные заявки в зависимости от порождающей причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа i (i=1…M) обозначено li. Совокупность заявок всех типов - входящий поток СМО.

Обслуживание заявок выполняется m каналами.

Различают универсальные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального канала типа j считается известными функции распределения Fji(t) длительности обслуживания заявок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов являются неопределёнными, назначение этих заявок на данный канал.

Q - схемы можно исследовать аналитически и имитационными моделями. Последнее обеспечивает большую универсальность.

Рассмотрим понятие массового обслуживания.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно отобразить в виде некоторого i-ого прибора обслуживания Пi, состоящего из накопителя заявок, в котором может находиться одновременно li=0…LiH заявок, где LiH - ёмкость i-ого накопителя, и канала обслуживания заявок, ki.

Рис. 3.2. Схема прибора СМО

На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Hi поток заявок wi, на канал ki - поток обслуживания ui.

Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Однородный ПС характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {tn}={0£t1£t2…£tn£…}, где tn - момент поступления n - ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями {tn}.

Неоднородным ПС называется последовательность {tn, fn} , где tn - вызывающие моменты; fn- набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.

Заявки, обслуженные каналом ki и заявки, покинувшие прибор Пi по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток yiÎY.

Процесс функционирования прибора обслуживания Пi можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени Zi(t). Переход в новое состояние для Пi означает изменение кол-ва заявок, которые в нём находятся (в канале ki и накопителе Hi). Т. о. вектор состояний для Пi имеет вид: , где - состояния накопителя, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28">=1- в накопителе одна заявка…, =- накопитель занят полностью; - состояние канала ki (=0 - канал свободен, =1 канал занят).

Q-схемы реальных объектов образуются композицией многих элементарных приборов обслуживания Пi. Если ki различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы Пi и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема).

Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы её функционирования, которые определяют правила поведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.

В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Нi и обслуживания заявок каналом ki. Неоднородность потока заявок учитывается с помощью введения класса приоритетов – относительные и абсолютные приоритеты.

Т. о. Q‑схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задаётся в виде набора множеств: Q = .

Сетевые модели.

Для формального описания структуры и взаимодействия параллельных систем и процессов, а также анализа причинно-следственных связей в сложных системах используются сети Петри (англ. Petri Nets), называемые N-схемами.

Формально N-схема задается четверкой вида

N = ,

где В – конечное множество символов, называемых позициями, B ≠ O;

D – конечное множество символов, называемых переходами D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – входная функция (прямая функция инцидентности)

I: B × D → {0, 1}; О – выходная функция (обратная функция инцидентности),

О: B × D → {0, 1}. Таким образом входная функция I отображает переход dj в

множество входных позиций bj I(dj), а выходная функция O отображает

переход dj в множество выходных позиций bj О(dj). Для каждого перехода

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 },

O(dj) = { bi B | O(dj, bi) = 1 },

i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D |.

Аналогично для каждой позиции bi B вводятся определения

множество входных переходов позиции I(bi) и выходных переходов

позиции O(bi):

I(bi) = { dj D | I(dj, bi,) = 1 },

O(bi) = { dj D | O(bi, dj) = 1 }.

Сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, состоящий из вершин двух типов - позиций и переходов, соединённых между собой дугами, вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно.

Пример сети Петри. Белыми кружками обозначены позиции, полосками - переходы, чёрными кружками - метки.

Ориентировочные дуги соединяют позиции и переходы, причем каждая дуга направлена от элемента одного множества (позиции или перехода) к элементу другого множества

(переходу или позиции). Граф N-схемы является мультиграфом, так как он

допускает существование кратных дуг от одной вершины к другой.

Декомпозиция" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">декомпозиции сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

В качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами (внутри системы S и с внешней средой Е) осуществляется с помощью оператора сопряжения R.

Любой агрегат характеризуется следующими множествами: моментов времени T, входных X и выходных Y сигналов, состояний Z в каждый момент времени t. Состояние агрегата в момент времени tT обозначается как z(t) Z,

а входные и выходные сигналы как х(t) X и y(t) Y соответственно.

Будем полагать, что переход агрегата из состояния z(t1) в состояние z(t2)≠z(t1) происходит за малый интервал времени, т. е. имеет место скачок δz.

Переходы агрегата из состояния z(t1) в z(t2) определяются собственными (внутренними) параметрами самого агрегата h(t) H и входными сигналами x(t) X.

В начальный момент времени t0 состояния z имеют значения, равные z0, т. е. z0=z(t0), задаваемые законом распределения процесса z(t) в момент времени t0, а именно J. Предположим, что процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигнала xn описывается случайным оператором V. Тогда в момент поступления в агрегат tnT входного сигнала

xn можно определить состояние

z(tn + 0) = V.

Обозначим полуинтервал времени t1 < t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t < t2 как .

Совокупность случайных операторов V и U рассматривается как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний δz в моменты поступления входных сигналов х (оператор V) и изменений состояний между этими моментами tn и tn+1 (оператор U). На оператор U не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состояний δz в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов x. В дальнейшем моменты скачков δz будем называть особыми моментами времени tδ, а состояния z(tδ) – особыми состояниями А-схемы. Для описания скачков состояний δz в особые моменты времени tδ будем использовать случайный оператор W, представляющий собой частный случай оператора U, т. е.

z(tδ + 0) = W.

В множестве состояний Z выделяется такое подмножество Z(Y), что если z(tδ) достигает Z(Y), то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала, определяемого оператором выходов

у = G.

Таким образом, под агрегатом будем понимать любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных множеств T, X, Y, Z, Z(Y), H и случайных операторов V, U, W, G.

Последовательность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления в А-схему, будем называть входным сообщением или x-сообщением. Последовательность выходных сигналов, упорядоченную относительно времени выдачи, назовем выходным сообщением или y-сообщением.

ЕСЛИ КРАТКО

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы)

Применяются для исследования систем, функционирующих в непрерывном времени. Для описания таких систем в основном используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные уравнения. В обыкновенных дифференциальных уравнениях рассматривается функция только одной независимой переменной, а в уравнениях в частных производных - функции нескольких переменных.

В качестве примера применения Д-моделей можно привести исследование работы механического маятника или электрического колебательного контура. Техническую основу Д-моделей составляют аналоговые вычислительные машины (АВМ) или бурно развивающиеся в настоящее время гибридные вычислительные машины (ГВМ). Как известно, основной принцип исследований на ЭВМ состоит в том, что по заданным уравнениям исследователь (пользователь АВМ) собирает схему из отдельных типовых узлов - операционных усилителей с включением цепей масштабирования, демпфирования, аппроксимации и т. п.

Структура АВМ изменяется в соответствии с видом воспроизводимых уравнений.

В цифровой ЭВМ структура остается неизменной, а изменяется последовательность работы ее узлов в соответствии с заложенной в нее программой. Сравнение АВМ и ЦВМ наглядно показывает разницу между имитационным и статистическим моделированием.

АВМ реализует имитационную модель, но, как правило, не использует принципы статистического моделировании. В ЦВМ большинство имитационных моделей базируется на исследовании случайных чисел, процессов, т. е. на статистическом моделировании. Непрерывно-детерминированные модели широко используются в машиностроении при исследовании систем автоматического управления, выборе амортизирующих систем, выявлении резонансных явлений и колебаний в технике
и т. п.

Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Оперируют с дискретным временем. Эти модели являются основой для исследования работы чрезвычайно важного и распространенного сегодня класса систем дискретных автоматов. С целью их исследования разработан самостоятельный математический аппарат теории автоматов. На основе этой теории система рассматривается как автомат, перерабатывающий дискретную информацию и меняющий, в зависимости от результатов ее переработки, свои внутренние состояния.

На этой модели основаны принципы минимизации числа элементов и узлов в схеме, устройстве, оптимизация устройства в целом и последовательности работы его узлов. Наряду с электронными схемами , ярким представителем автоматов, описываемых данной моделью, является робот, управляющий (по заданной программе) технологическими процессами в заданной детерминированной последовательности.

Станок с числовым программным управлением также описывается данной моделью. Выбор последовательности обработки деталей на этом станке осуществляется настройкой узла управления (контроллера), вырабатывающего сигналы управления в определенные моменты времени / 4 /.

Теория автоматов использует математический аппарат булевых функций, оперирующих с двумя возможными значениями сигналов 0 и 1.

Автоматы разделяются на автоматы без памяти, автоматы с памятью. Описание их работы производится с помощью таблиц, матриц, графов, отображающих переходы автомата из одного состояния в другое. Аналитические оценки при любом виде описания работы автомата весьма громоздки и уже при сравнительно небольшом числе элементов, узлов, образующих устройство, практически невыполнимы. Поэтому исследование сложных схем автоматов, к которым, несомненно, относятся и робототехнические устройства, производится с применением имитационного моделирования.

Дискретно-стохастические модели (P-схемы)

Применяются при исследовании работы вероятностных автоматов. В автоматах этого типа переходы из одного состояния в другое осуществляются под воздействием внешних сигналов и с учетом внутреннего состояния автомата. Однако в отличие от Г-автоматов, эти перехода не строго детерминированы, а могут осуществляться с определенными вероятностями.

Пример такой модели представляет дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний. Анализ F-схем основан на обработке и преобразовании матриц вероятностей переходов и анализе вероятностных графов. Уже для анализа сравнительно простых устройств, поведение которых описывается F-схемами, целесообразно применение имитационного моделирования. Пример такого моделирования приведен в пункте 2.4.

Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)

Используются при анализе широкого класса систем, рассматриваемых как системы массового обслуживания. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы: потоки поставок продукции предприятию, потоки комплектующих заказных деталей и изделий, потоки деталей на сборочном конвейере, потоки управляющих воздействий от центра управления АСУ на рабочие места и обратные заявки на обработку информации в ЭВМ и т. д.

Как правило, эти потоки зависят от многих факторов и конкретных ситуаций. Поэтому в большинстве случаев эти потоки случайны во времени с возможностью изменений в любые моменты. Анализ таких схем производится на основе математического аппарата теории массового обслуживания. К ним относится непрерывная марковская цепь. Несмотря на значительные успехи, достигнутые в разработке аналитических методов, теория массового обслуживания, анализ Q-схем аналитическими методами может быть проведен лишь при значительных упрощающих допущениях и предположениях. Детальное исследование большинства этих схем, тем более таких сложных, как АСУТП, робототехнические системы, может быть проведено только с помощью имитационного моделирования.

Обобщенные модели (А-схемы)

Основаны на описании процессов функционирования любых систем на базе агрегативного метода. При агрегативном описании система разбивается на отдельные подсистемы, которые могут считаться удобными для математического описания. В результате такого разбиения (декомпозиции) сложная система представляется в виде многоуровневой системы, отдельные уровни (агрегаты) которой поддаются анализу. На основе анализа отдельных агрегатов и с учетом законов взаимосвязей этих агрегатов удается провести комплексное исследование всей системы.

, Яковлев систем. 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2005. – С. 45-82.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Факультеты ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ, ЗДО

Специальность 220201 - УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В

ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Направление бакалавриата 220200 - АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

Моделирование систем: рабочая программа, методические указания для самостоятельной работы и контрольные задания. - Вологда: ВоГТУ, 2008. - 22 с.

Приводится рабочая программа дисциплины с указанием тематики основных разделов, методические указания со ссылками на источники информации, контрольные задания и список литературы.

Предназначена для студентов дневной и заочной форм обучения, обучающихся по направлению: 220200 – автоматизация и управление и специальности 220201 – управление и информатика в технических системах и по направлению бакалавриата: 220200 – автоматизация и управление.

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

Составитель: В.Н. Тюкин, канд. техн. наук, доцент

Рецензент: Е.В. Несговоров, канд. техн. наук, доцент

кафедры УиВС ВоГТУ

За основу программы приняты требования Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования к минимуму содержания и уровню подготовки инженеров по специальности 210100 - управление и информатика в технических системах, введенного с 10.03.2000 г.

Требования к знаниям и умениям по дисциплине

В результате изучения дисциплины студенты должны:

1. Студент должен иметь представление:

О модели и моделировании;

О роли моделирования при исследовании, проектировании и эксплуатации систем;

О назначении ЭВМ при моделировании систем;

О программных и технических средствах моделирования систем.

2. Студент должен знать:

Назначение и требования, предъявляемые к модели;

Классификацию видов моделирования систем;

Принципы подхода в моделировании систем;

Математические схемы моделирования систем;

Основные этапы моделирования систем.

3. Студент должен уметь:

Получать математические модели систем;

Проводить формализацию и алгоритмизацию процесса функционирования систем;

Строить концептуальные и машинные модели систем;

Получать и интерпретировать результаты моделирования.

Требования к минимуму содержания дисциплины

Классификация моделей и виды моделирования; примеры моделей систем; основные положения теории подобия; этапы математического моделирования; принципы построения и основные требования к математическим моделям систем; цели и задачи исследования математических моделей систем; общая схема разработки математических моделей; формализация процесса функционирования системы; понятие агрегатной модели; формы представления математических моделей; методы исследования математических моделей систем и процессов; имитационное моделирование; методы упрощения математических моделей; технические и программные средства моделирования.

Т а б л и ц а 1

Распределение часов учебного плана по формам обучения и видам занятий

Виды занятий	Очное обучение	Заочное обучение
	сем. 7		всего час	сем. 9		всего час.
Лекции
Практические занятия
Лаб. работы
Самост. работа
Всего
Итоговый контроль	з, э.			з, э, 2 к.р.

Т а б л и ц а 2

Распределение часов самостоятельной работы студента по видам работ

ПРОГРАММА КУРСА

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Современное состояние проблемы моделирования систем.

В.2. Использование моделирования при исследовании, проектировании и

управлении систем.

Литература: стр. 4-6.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

1.1. Определение модели и моделирования. Требования, предъявляемые к модели. Назначение модели.

1.2. Принципы подхода в моделировании систем.

1.3. Классификация видов моделирования систем.

1.4. Возможности и эффективность моделирования систем на вычислительных машинах.

Литература: стр. 6-34.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

2.1. Основные подходы к построению математических моделей систем. Математическая схема общего вида.

2.2. Непрерывно-детерминированные модели (D - схемы).

2.3. Дискретно-детерминированные модели (F - схемы).

2.4. Дискретно-стохастические модели (Р - схемы).

2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы).

2.6. Обобщенные модели (A - схемы).

Литература: стр. 35-67, стр.168-180.

3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА

ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ

3.1. Последовательность разработки и машинной реализации моделей систем.

3.2. Построение концептуальной модели системы и ее формализация.

3.3. Алгоритмизация модели и ее машинная реализация.

3.4. Получение и интерпретация результатов моделирования.

Литература: стр. 68-89.

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

4.1. Канонические формы моделей динамических систем и методы их исследования.

4.2. Имитационное моделирование.

4.3. Статистическое моделирование.

4.4. Программные и технические средства моделирования систем.

Литература: .

ЦЕЛЬ КУРСА

“Понять - значит построить модель”.

У.Томсон (Кельвин)

Реальные производственные объекты представляют собой, как правило, большие системы, исследование которых является весьма сложной задачей. Основной целью курса является выработка методического подхода к задаче моделирования больших систем и систем управления ими. Эта основная задача может быть разделена на ряд подзадач, также являющихся целями курса:

Знакомство с методами анализа и принципами подхода к моделированию систем;

Изучение основ математического моделирования систем;

Изучение принципов и аппарата моделирования систем;

Знакомство с методами моделирования в проектировании и эксплуатации систем;

Изучение программных и технических средств моделирования систем;

Приобретение практических навыков построения моделей больших систем и методов обработки результатов моделирования.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Курс “Моделирование систем управления” должен дать студенту современный мощный рабочий инструмент инженера для эффективной разработки и эксплуатации автоматизированных производственных систем. Именно моделирование является средством, позволяющим без капитальных затрат решить проблему построения больших систем, к которым относится и современное автоматизированное производство.

Важность изучаемого курса заключается также в овладении приемами и технологией практического решения задач моделирования процессов функционирования систем на ЭВМ.

Студенты должны изучить материал курса в основном самостоятельно. По наиболее сложным вопросам курса, а также по вопросам, недостаточно освещенным в литературе, читаются лекции. Практические навыки по моделированию студенты получают на практических и лабораторных занятиях. Кроме того, в процессе изучения курса, студенты заочного обучения выполняют контрольную работу.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение курса следует начать с ознакомления с современным производством, которое можно рассматривать как сложную систему взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, в которой в качестве технологического объекта управления выступает материально-производственная система, а роль регулятора выполняет информационно-управляющая система. Повышение эффективности реализации процессов управления в производстве требует широкого внедрения автоматизированных систем управления, создаваемых с применением экономико-математических методов и средств информационно-вычислительной техники. В настоящее время полное и всестороннее исследование автоматизированных систем управления на всех этапах разработки, начиная с обследования объекта управления и составления технического задания на проектирование и кончая внедрением системы в эксплуатацию, невозможно без методов моделирования на ЭВМ.

Необходимо уяснить, что методологической основой моделирования является диалектико-материалистический метод познания и научного исследования. Обобщенно моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объектом-моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса.

Основными принципами моделирования являются .

Принцип информативной достаточности. Определяет уровень априорных сведений, при котором может быть создана адекватная модель.

Принцип осуществимости. Определяется вероятностью достижения цели моделирования за конечное время.

Принцип множественности моделей. Создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы, которые влияют на выбранный показатель эффективности.

Принцип агрегирования. Модель объекта представлять из агрегатов (подсистем), которые пригодны для описания стантартными математическими схемами.

Принцип параметризации. Модель должна иметь в своем составе подсистемы, характеризующиеся параметрами.

Основные понятия моделирования систем

“Определите значение слов,

И вы избавите человечество

От половины его заблуждений”.

Изучая этот раздел важно уяснить основные понятия, определения, цели и принципы моделирования.

Модель это изображение оригинала на основе принятых гипотез и аналогий, а моделирование - представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.

Основное требование которому должна удовлетворять модель адекватность объекту. Адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев. Модель адекватна объекту, если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.

Моделирование решает задачи изучения и исследования объектов, предсказания их функционирования, синтеза структуры, параметров и алгоритмов поведения.

При управлении модели позволяют оценивать ненаблюдаемые переменные процесса, прогнозировать состояние процесса при имеющихся или выбираемых управлениях и автоматически синтезировать оптимальные стратегии управления.

При проектировании и эксплуатации автоматизированных систем возникают многочисленные задачи, требующие оценки количественных и качественных закономерностей процессов функционирования систем, проведения структурного, алгоритмического и параметрического синтеза. Решение этих проблем в настоящее время невозможно без использования различных видов моделирования, что обусловлено особенностями больших систем, такими как сложностью структур, стохастичностью связей между элементами и внешней средой, неоднозначностью алгоритмов поведения, большом количестве параметров и переменных, неполнотой и недетерминированностью исходной информации. Математическое моделирование позволяет существенно уменьшить время проектирования, во многих случаях позволяет найти оптимальное решение, исключить метод натурных проб и ошибок, перейти к параллельному процессу проектирования.

В настоящее время при анализе и синтезе больших систем получил развитие системный подход, предполагающий последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды. Модель в этом случае создается под поставленную проблему, а моделирование заключается в решении проблемы цели, проблемы построения модели, проблемы работы с моделью. Для правильно выбранной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы не существенные для данного исследования.

В основе классификации видов моделирования систем лежат различные признаки, такие как степень полноты модели, характер математического описания. Важное место занимает математическое моделирование, представляющее собой процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта. Математическое моделирование включает в себя аналитическое и имитационное. Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта, используя структурное подобие объекта и модели, т.е. каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставиться в соответствие элемент модели.

Техническим средством решения инженерных задач на базе моделирования является ЭВМ. Машинный эксперимент с моделью дает возможность исследовать процесс функционирования в любых условиях, сокращает продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом, обладает гибкостью варьирования параметров, структуры, алгоритмов моделируемой системы, является единственным практически реализуемым методом исследования процесса функционирования систем на этапе их проектирования.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое модель и моделирование?

2.Сформулируйте основные требования предъявляемые к модели.

3.Какова роль моделирования при исследовании и проектировании систем и управлении?

4.Дайте определения системы, внешней среды, функционирования системы.

5.В чем смысл системного подхода в моделировании?

6.Перечислите признаки классификации видов моделирования систем.

7.Расскажите о математическом моделировании и его видах.

8.В чем отличие аналитического и имитационного моделирования?

9.Что такое кибернетическое моделирование?

10.Роль и назначение ЭВМ при моделировании.

Математические схемы моделирования систем

“Высшее назначение математики -

Находить порядок в хаосе,

Который нас окружает “.

При изучении этого раздела прежде всего необходимо обратить внимание на понятия математических схем моделирования как общего вида, так и типовых.

Математическую схему определяют как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка “описательная модель - математическая схема - математическая модель”. Математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели.

Модель объекта моделирования, т.е. систему, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему, совокупность воздействий внешней среды, совокупность внутренних (собственных) параметров системы и совокупность выходных характеристик системы. Входные воздействия, воздействия внешней среды, внутренние параметры являются независимыми (э к з о г е н н ы м и) переменными, а выходные характеристики системы являются зависимыми (э н д о г е н н ы м и) переменными. Математическая схема моделирования общего вида задается оператором, который преобразует экзогенные переменные в эндогенные.

В практике моделирования пользуется типовыми математическими схемами, которые не обладают общностью, но имеют преимущества простоты и наглядности. К ним относятся детерминированные, стохастические и агрегатные типовые модели. В качестве детерминированных моделей используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретное время - разностные уравнения и конечные автоматы. В качестве стохастических моделей для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем - системы массового обслуживания. Агрегатные модели отображают системный характер объектов, которые расчленяются на конечное число частей, сохраняя связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Типовые математические схемы (D- ,F- ,P- ,Q- ,A-) позволяют формализовать достаточно широкий класс больших систем, с которыми приходится иметь дело в практике исследования и проектирования производственных задач.

Вопросы для самопроверки

1.Какова роль математической схемы моделирования?

2.Что представляет собой математическая схема общего вида?

3.Назовите основные формы представления непрерывно-детерминированных моделей.

4.Дайте описание дискретного конечного автомата.

5.Перечислите способы задания работы F - автоматов.

6.Каким образом задается вероятностный автомат.

7.Что представляет собой СМО? Назовите основные элементы СМО.

8.Что такое транзакт?

9.Раскажите о символике Q-схем. Как графически изображаются: источник заявок, канал обслуживания, накопитель, клапан, потоки событий. Приведите пример изображения СМО в символике Q - схем.

10.Какова структура агрегатной системы?

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы, которые определяют основную цель моделирования и позволяют сформулировать требования к разрабатываемой математической модели. Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка «описательная модель – математическая схема – математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель».

Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

· совокупность входных воздействий на систему – x i ;

· совокупность воздействий внешней среды – n l ;

· совокупность внутренних (собственных) параметров системы – h k ;

· совокупность выходных характеристик системы – y j .

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае x i , n l , h k , y j являются элементами непересекающихся подмножеств X, V, H, Y и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид

а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид

Процесс функционирования системы S описывается во времени операторомF s , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида:

. (2.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j (t ) для всех видов , называется выходной траекторией . Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы S и обозначаетсяF s . В общем случае закон функционирования системыF s может быт задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования А s , под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий , воздействий внешней среды и собственных параметров системы. Очевидно, что один и тот же закон функционированиясистемыможет быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов А s .

Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени, т.е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами) .

Для статических моделей математическое описание (2.1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и [X, V, H ], что в векторной форме может быть записано как

. (2.2)

Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами

и ,

где z ’ 1 =z 1 (t ’), z ’ 2 =z 2 (t ’), …, z ’ k =z k (t ’), в момент t ’’ Î(t 0 , T ); z ’’ 1 =z 1 (t ’’), z ’’ 2 =z 2 (t ’’), …, z ’’ k =z k (t ’’) в момент t ’’ Î(t 0 , T ) и т.д., .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z 1 (t ), z 2 (t ), ..., z k (t ), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k -мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний объекта моделированияZ , причем z k ÎZ .

Состояния системы S в момент времени t 0 < t* £ Т полностью определяются начальными условиями [где z 0 1 =z 1 (t 0), z 0 2 =z 2 (t 0), ..., z 0 k =z k (t 0)], входными воздействиями , внутренними параметрами и воздействиями внешней среды , которые имели место за промежуток времени t* – t 0 , с помощью двух векторных уравнений:

; (2.3)

. (2.4)

Первое уравнение по начальному состоянию и экзогенным переменным определяет вектор-функцию , а второе по полученному значению состояний – эндогенные переменные на выходе системы . Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» позволяет определить характеристики системы:

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т ) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длиной временных единиц каждый, когда , где число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками .

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

. (2.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т.д.

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, - конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем – системы массового обслуживания и т.д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших информационно-управляющих системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей. Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

Лекция 5 .

Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы)

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ).

Обычно в таких математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет

где и - n -мерные векторы; - вектор-функция, которая определена на некотором (п+ 1)-мерном множестве и является непрерывной. Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т.е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (от англ. dynamic).

В простейшем случае ОДУ имеет вид:

,

где h 0 , h 1 , h 2 – параметры системы; z (t ) – состояние системы в момент времени t.

Если изучаемая система взаимодействует с внешней средойЕ, то появляется входное воздействие х (t )и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид:

.

С точки зрения общей схемы математической модели х (t )является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т.е. полагать, что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y=z.

При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обратить внимание на системы автоматического управления – частный случай динамических систем, описываемых D- схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практической специфики. Описывая процессы автоматического управления, придерживаются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления).

. Лекция 6 .

Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Особенности дискретно-детерминированного подхода на этапе формализации процесса функционирования систем рассмотрим на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Теория автоматов – это раздел теоретической кибернетики, в котором изучаются математические модели – автоматы. На основе этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Понятие «автомат» варьируется в зависимости от характера конкретно изучаемых систем, от принятого уровня абстракции и целесообразной степени общности. Автомат можно представить как некоторое устройство (черный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний а, следовательно, и множество выходных сигналов являются конечными множествами. Абстрактно конечный автомат (от англ. finite automat) можно представить как математическую схему, характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством Х входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); начальным состоянием z 0 ÎZ ; функцией переходов j (z, x ); функцией выходов y (z, x ).

Автомат, задаваемый F -схемой: – функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Если обозначить состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t- му такту при t = 0, 1, 2, ..., через z (t ), x (t ), y (t ).При этом z (0)=z 0 , z (t )ÎZ , x (t )ÎX, y (t )ÎY. Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент дискретного времени F -автомат находится в определенном состоянии z (t ) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t =0 он всегда находится в начальном состоянии z (0)=z 0 . В момент t, будучи в состоянии z (t ), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x (t )ÎX и выдать на выходном канале сигнал у (t )=y [z (t ), х (t )], переходя в состояние z (t +1)=j [z(t), x(t) ], x (t )ÎX, y (t )ÎY. Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита Х на множество слов выходного алфавита Y . Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z 0 , подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита х (0), х (1), х (2),..., т.e. входное слово, то на выходе автомата будут появляться буквы выходного алфавита у (0), y (1), у (2), ..., образуя выходное слово. Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t- м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z (t ), подается некоторый сигнал x (t ), на который он реагирует переходом в (t +1)-м такте в новое состояние z (t +1) и выдачей некоторого выходного сигнала.

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F -автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. Асинхронный F- автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

Дискретно-стохастические модели (P-схемы)

Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования исследуемой системы. Так как сущность дискретизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмотренным в конечным автоматам, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах.

В общем виде вероятностный автомат(англ. probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Применение схем вероятностных автоматов имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Введем математическое понятие Р- автомата, используя понятия, введенные для F -автомата. Рассмотрим множество G , элементами которого являются всевозможные пары (x i , z s ), где х i , и z s – элементы входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции j и y, то с их помощью осуществляются отображения G ®Z и G ®Y, то говорят, что определяет автомат детерминированного типа. Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф – множество всевозможных пар вида (z k , y i ) где у j – элемент выходного подмножества Y . Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф … (z 1 , y 1) … (z 1 , y 2) … … (z K , y J -1) (z K , y J )

(x i z k ) … b 11 b 12 … b K (J -1 ) b KJ

При этом ,

где b kj – вероятности перехода автомата в состояние z k и появления на выходе сигнала у j , если он был в состоянии z s и на его вход в этот момент времени поступил сигнал х i . Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В , тогда четверка элементов называется вероятностным автоматом (Р -автоматом).

Лекция 7 .

Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания (англ. queueing system), которые будем называть Q -схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. стохастический характер процесса их функционирования. В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i -го прибора обслуживанияП i , состоящего из накопителя заявок H i , в котором может одновременно находиться заявок, где L i H - емкость i -го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) К i . На каждый элемент прибора обслуживания П i поступают потоки событий: в накопитель H i - поток заявок w i на канал К i – поток обслуживании u i .

В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q- схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания П i (сети массового обслуживания). Если каналы K i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q -схема), а если приборы П i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q- схема). Таким образом, для задания Q -схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой. Различают разомкнутые и замкнутые Q -схемы. В разомкнутой Q -схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент, т. е. обратная связь отсутствует, а в замкнутых Q- схемах имеются обратные связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном движению вход-выход.

Возможности оценки характеристик с использованием аналитических моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными по сравнению с требованиями практики исследования и проектирования систем, формализуемых в виде Q- схем. Несравненно большими возможностями обладают имитационные модели, позволяющие исследовать Q- схему, задаваемую без ограничений.

Сетевые модели (N-схемы)

В практике моделирования объектов часто приходится решать задачи, связанные с формализованным описанием и анализом причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов. Самым распространенным в настоящее время формализмом, описывающим структуру и взаимодействие параллельных систем и процессов, являются сети Петри (от англ. Petri Nets).

Формально сеть Петри (N -схема) задается четверкой вида:

,

где В – конечное множество символов, называемых позициями; D – конечное множество символов, называемых переходами; I – входная функция (прямая функция инцидентности); O – выходная функция (обратная функция инцидентности). Таким образом, входная функция I отображает переход d j в множество выходных позиций b i ÎI (d j ), а выходная функция О отображает переход d j в множество выходных позиций b i ÎD (d j ).

Графически N-схема изображается в виде двудольного ориентированного мультиграфа, представляющего собой совокупность позиций и переходов. Граф N-схемы имеет два типа узлов: позиции и переходы, изображаемые 0 и 1 соответственно. Ориентировочные дуги соединяют позиции и переходы, причем каждая дуга направлена от элемента одного множества (позиции или перехода) к элементу другого множества (переходу или позиции). Граф N-схемы является мультиграфом, так как он допускает существование кратных дуг от одной вершины к другой.

Приведенное представление N-схемы может использоваться только для отражения статики моделируемой системы (взаимосвязи событий и условий), но не позволяет отразить в модели динамику функционирования моделируемой системы. Для представления динамических свойств объекта вводится функция маркировки (разметки) М : B®{0, 1, 2, ...}. Маркировка М есть присвоение неких абстрактных объектов, называемых метками (фишками), позициям N-схемы, причем количество меток, соответствующее каждой позиции, может меняться. При графическом задании N-схемы разметка отображается помещением внутри вершин-позиций соответствующего числа точек (когда количество точек велико, ставят цифры). Маркированная (размеченная) N-схема может быть описана в виде пятерки и является совокупностью сети Петри и маркировки М .

Функционирование N-схемы отражается путем перехода от разметки к разметке. Начальная разметка обозначается как М 0: В ®{0, 1, 2, ...}. Смена разметок происходит в результате срабатывания одного из переходов d j ÎD сети. Необходимым условием срабатывания перехода d j является b i ÎI(d j) {M(b i)³ 1}, где М(b i) – разметка позиции b i . Переход d j , для которого выполняется указанное условие, определяется как находящийся в состоянии готовности к срабатыванию или как возбужденный переход.

Комбинированные модели (A-схемы)

Наиболее известным общим подходом к формальному описанию процессов функционирования систем является подход, предложенный Я.П. Бусленко. Этот подход позволяет описывать поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем, т. е. по сравнению с рассмотренными является обобщенным (универсальным) и базируется на понятии агрегативной системы (от англ. aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой .

Анализ существующих средств моделирования систем и задач, решаемых с помощью метода моделирования на ЭВМ, неизбежно приводит к выводу, что комплексное решение проблем, возникающих в процессе создания и машинной реализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую формальную математическую схему, т.е. А-схему. Такая схема должна одновременно выполнять несколько функций: являться адекватным математическим описанием объекта моделирования, т. е. системы S, служить основой для построения алгоритмов и программ при машинной реализации модели М, позволять в упрощенном варианте (для частных случаев) проводить аналитические исследования.

Приведенные требования в определенной степени противоречивы. Тем не менее, в рамках обобщенного подхода на основе А-схем удается найти между ними некоторый компромисс.

По традиции, установившейся в математике вообще и в прикладной математике в частности, при агрегативном подходе сначала дается формальное определение объекта моделирования – агрегативной системы, которая является математической схемой, отображающей системный характер изучаемых объектов. При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Если некоторые из полученных подсистем оказываются в свою очередь еще достаточно сложными, то процесс их разбиения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделирования могут считаться удобными для математического описания. В результате такой декомпозиции сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

В качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами (внутри системы S и с внешней средой Е ) осуществляется с помощью оператора сопряжения R . Очевидно, что агрегат сам может рассматриваться как А-схема , т. е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня. Любой агрегат характеризуется следующими множествами: моментов времени Т , входных Х и выходных Y сигналов, состояний Z в каждый момент времени t . Состояние агрегата в момент времени t ÎT обозначается как z (t )ÎZ , а входные и выходные сигналы - как х (t )ÎХ и у (t )ÎY соответственно.

Существует класс больших систем, которые ввиду их сложности не могут быть формализованы в виде математических схем одиночных агрегатов, поэтому их формализуют некоторой конструкцией из отдельных агрегатов A n , , которую назовем агрегативной системой или А-схемой . Для описания некоторой реальной системы S в виде А-схемы необходимо иметь описание как отдельных агрегатов A n , так и связей между ними.

Функционирование А-схемы связано с переработкой информации. Вся информация, циркулирующая в А-схеме , делится на внешнюю и внутреннюю. Внешняя информация поступает от внешних объектов, не являющихся элементами рассматриваемой схемы, а внутренняя информация вырабатывается агрегатами самой А-схемы . Обмен информацией между А-схемой и внешней средой Е происходит через агрегаты, которые называются полюсами А-схемы . При этом различают входные полюсы А-схемы , представляющие собой агрегаты, на которые поступают х -сообщения, и выходные полюсы А-схемы , выходная информация которых является у -сообщениями. Агрегаты, не являющиеся полюсами, называются внутренними.

Классификация в любой области знаний необходима. Она позволяет обобщить накопленный опыт, упорядочить понятия предметной области. Стремительное развитие методов математического моделирования и многообразие областей их применения привели появлению большого количества моделей различных видов и к необходимости классификации моделей по тем категориям, которые являются универсальными для всех моделей или необходимы в области построенной модели, например. Приведем пример некоторых категорий: область использования; учёт в модели временного фактора (динамики); отрасль знаний; способ представления моделей; наличие или отсутствие случайных (или неопределенных) факторов; вид критерия эффективности и наложенных ограничений и т.д.

Анализируя математическую литературу, мы выделили наиболее часто встречающиеся признаки классификаций:

1. По методу реализации (в том числе формальному языку) все математические модели можно разбить на аналитические и алгоритмические.

Аналитические – модели, в которых используется стандартный математический язык. Имитационные – модели, в которых использован специальный язык моделирования или универсальный язык программирования.

Аналитические модели могут быть записаны в виде аналитических выражений, т.е. в виде выражений, содержащих счетное число арифметических действий и переходов к пределу, например: . Алгебраическое выражение является частным случаем аналитического выражения, оно обеспечивает в результате точное значение. Существуют также конструкции, позволяющие находить результирующее значение с заданной точностью (например, разложение элементарной функции в степенной ряд). Модели, использующие подобный прием, называют приближенными.

В свою очередь, аналитические модели разбиваются на теоретические и эмпирические модели. Теоретические модели отражают реальные структуры и процессы в исследуемых объектах, то есть, опираются на теорию их работы. Эмпирические модели строятся на основе изучения реакций объекта на изменение условий окружающей среды. При этом теория работы объекта не рассматривается, сам объект представляет собой так называемый «черный ящик», а модель – некоторую интерполяционную зависимость. Эмпирические модели могут быть построены на основе экспериментальных данных. Эти данные получают непосредственно на исследуемых объектах или с помощью их физических моделей.

Если какой-либо процесс не может быть описан в виде аналитической модели, его описывают с помощью специального алгоритма или программы. Такая модель является алгоритмической. При построении алгоритмических моделей используют численный или имитационный подходы. При численном подходе совокупность математических соотношений заменяется конечномерным аналогом (например, переход от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента). Затем выполняется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательности арифметических и логических действий. Найденное решение дискретного аналога принимается за приближенное решение исходной задачи. При имитационном подходе дискретизируется сам объект моделирования, строятся модели отдельных элементов системы.

2. По форме представления математических моделей различают:

1) Инвариантная модель – математическая модель представляющаяся системой уравнений (дифференциальных, алгебраических) без учета методов решения этих уравнений.

2) Алгебраическая модель – соотношение моделей связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма (последовательности вычислений).

3) Аналитическая модель – представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин. Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.

4) Графическая модель представляется в виде графиков, эквивалентных схем, диаграмм и тому подобное. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математической модели.

3. В зависимости от вида критерия эффективности и наложенных ограничений модели подразделяются на линейные и нелинейные. В линейных моделях критерий эффективности и наложенные ограничения являются линейными функциями переменных модели (иначе нелинейные модели). Допущение о линейной зависимости критерия эффективности и совокупности наложенных ограничений от переменных модели на практике вполне приемлемо. Это позволяет для выработки решений использовать хорошо разработанный аппарат линейного программирования.

4. Учитывая фактор времени и области использования, выделяют статические и динамические модели . Если все входящие в модель величины не зависят от времени, то имеем статическую модель объекта или процесса (одномоментный срез информации по объекту). Т.е. статическая модель – это модель, в которой время не является переменной величиной. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени.

5. В зависимости от числа сторон, принимающих решение, выделяют два типа математических моделей: описательные и нормативные . В описательной модели нет сторон, принимающих решения. Формально число таких сторон в описательной модели равно нулю. Типичным примером подобных моделей является модели систем массового обслуживания. Для построения описательных моделей может также использоваться теория надежности, теория графов, теория вероятностей, метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Для нормативной модели характерно множество сторон. Принципиально можно выделить два вида нормативных моделей: модели оптимизации и теоретико-игровые. В моделях оптимизации основная задача выработки решений технически сводится к строгой максимизации или минимизации критерия эффективности, т.е. определяются такие значения управляемых переменных, при которых критерий эффективности достигает экстремального значения (максимума или минимума).

Для выработки решений, отображаемых моделями оптимизации, наряду с классическими и новыми вариационными методами (поиск экстремума) наиболее широко используются методы математического программирования (линейное, нелинейное, динамическое). Для теоретико-игровой модели характерна множественность числа сторон (не менее двух). Если имеются две стороны с противоположными интересами, то используется теория игр, если число сторон более двух и между ними невозможны коалиции и компромиссы, то применяется теория бескоалиционных игр n лиц.

6. В зависимости от наличия или отсутствия случайных (или неопределенных) факторов выделяют детерминированные и стохастические математические модели. В детерминированных моделях все взаимосвязи, переменные и константы заданы точно, что приводит к однозначному определению результирующей функции. Детерминированная модель строится в тех случаях, когда факторы, влияющие на исход операции, поддаются достаточно точному измерению или оценке, а случайные факторы либо отсутствуют, либо ими можно пренебречь.

Если часть или все параметры, входящие в модель по своей природе являются случайными величинами или случайными функциями, то модель относят к классу стохастических моделей. В стохастических моделях задаются законы распределения случайных величин, что приводит к вероятностной оценке результирующей функции и реальность отображается как некоторый случайный процесс, ход и исход которого описывается теми или иными характеристиками случайных величин: математическими ожиданиями, дисперсиями, функциями распределения и т.д. Построение такой модели возможно, если имеется достаточный фактический материал для оценки необходимых вероятностных распределений или если теория рассматриваемого явления позволяет определить эти распределения теоретически (на основе формул теории вероятностей, предельных теорем и т.д.).

7. В зависимости от целей моделирования различают дескриптивные, оптимизационные и управленческие модели. В дескриптивных (от лат. descriptio – описание) моделях исследуются законы изменения параметров модели. Например, модель движения материальной точки под воздействием приложенных сил на основании второго закона Ньютона: . Задавая положение и ускорение точки в данный момент времени (входные параметры), массу (собственный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить координаты точки и скорость в любой момент времени (выходные данные).

Оптимизационные модели применяются для определения наилучших (оптимальных), на основе некоторого критерия, параметров моделируемого объекта или способов управления этим объектом. Оптимизационные модели строятся с помощью одной и ли нескольких дескриптивных моделей и имеют несколько критериев определения оптимальности. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств или неравенств, связанных с особенностями рассматриваемого объекта или процесса. Примером оптимизационной модели служит составление рациона питания в определенной диете (в качестве входных данных выступают калорийность продукта, ценовые значения стоимости и т.д.).

Управленческие модели применяются для принятия решений в различных областях целенаправленной деятельности человека, когда из всего множества альтернатив выбирают несколько и общий процесс принятия решения представляет собой последовательность таких альтернатив. Например, выбор доклада для поощрения из нескольких подготовленных студентами. Сложность задачи состоит как в неопределенности о входных данных (самостоятельно подготовлен доклад или использован чей-то труд), так и целей (научность работы и ее структура, уровень изложения и уровень подготовки студента, результаты эксперимента и полученные выводы). Так как оптимальность принятого решения в одной и той же ситуации может трактоваться различным образом, то вид критерия оптимальности в управленческих моделях заранее не фиксируется. Методы формирования критериев оптимальности в зависимости от вида неопределенности рассматриваются в теории выбора и принятия решений, базирующейся на теории игр и исследовании операций.

8. По методу исследования различают аналитические, численные и имитационные модели. Аналитической моделью называют такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнения в явном виде, используя известный математический аппарат. Численная модель характеризуется зависимостью, которая допускает только частные численные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров модели. Имитационная модель – это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и фиксировать интересующие характеристики . Далее будут более подробно рассмотрены некоторые аналитические и имитационные модели, изучение именно этих видов моделей связано со спецификой профессиональной деятельности студентов указанного направления подготовки.

1.4. Графическое представление математических моделей

В математике формы связи между величинами могут быть представлены уравнениями вида независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). В теории математического моделирования независимую переменную называют фактором, зависимую – откликом. Причем в зависимости от области построения математической модели терминология несколько видоизменяется. Некоторые примеры определений фактора и отклика, в зависимости от области исследования, приведены в таблице 1.

Таблица 1. Некоторые определения понятий «фактор» и «отклик»

Представляя графически математическую модель, мы будем считать факторы и отклики переменными величинами, значения которых принадлежат множеству действительных чисел.

Графическим представлением математической модели являетсянекоторая поверхность отклика, соответствующая расположению точек в k- мерном факторном пространстве Х . Наглядно можно представить себе только одномерную и двухмерную поверхности отклика. В первом случае это множество точек на действительной плоскости, а во втором – множество точек, образующих поверхность в пространстве (для изображения таких точек удобно применять линии уровня – способ изображения рельефа поверхности пространства, построенного в двумерном факторном пространстве Х (Рис. 8).

Область, в которой определена поверхность отклика, называется областью определения Х * . Эта область составляет, как правило, лишь часть полного факторного пространства Х (Х* Ì Х ) и выделяется с помощью ограничений, наложенных на управляющие переменные x i , записанных в виде равенств:

x i = C i , i = 1,…, m ;

f j (x ) = C j , j = 1,…, l

или неравенств:

x i min £ x i £ x i max , i = 1,…, k ;

f j (x ) £ C j , j = 1,…, n ,

При этом функции f j (x ) могут зависеть как одновременно от всех переменных, так и от некоторой их части.

Ограничения типа неравенств характеризуют или физические ограничения на процессы в изучаемом объекте (например, ограничения температуры), или технические ограничения, связанные с условиями работы объекта (например, предельная скорость резания, ограничения по запасам сырья).

Возможности исследования моделей существенно зависят от свойств (рельефа) поверхности отклика, в частности, от количества имеющихся на ней «вершин» и ее контрастности. Количество вершин (впадин) определяет модальность поверхности отклика. Если в области определения на поверхности отклика имеется одна вершина (впадина), модель называется унимодальной .

Характер изменения функции при этом может быть различным (Рис. 9).

Модель может иметь точки разрыва первого рода (Рис. 9 (а)), точки разрыва второго рода (Рис. 9(б)). На рисунке 9(в) показана непрерывно-дифференцируемая унимодальная модель.

Для всех трех случаев, представленных на рисунке 9, выполняется общее требование унимодальности:

если W(x*) – экстремум W, то из условия х 1 < x 2 < x* (x 1 > x 2 > x*) следует W(x 1) < W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) > W(x 2) > W(x*) , если экстремум – минимум, то есть, по мере удаления от экстремальной точки значение функции W(x) непрерывно уменьшается (увеличивается).

Наряду с унимодальными рассматривают полимодальные модели (Рис.10).

Другим важным свойством поверхности отклика является ее контрастность, показывающая чувствительность результирующей функции к изменению факторов. Контрастность характеризуется величинами производных. Продемонстрируем характеристики контрастности на примере двумерной поверхности отклика (Рис. 11).

Точка а расположена на «склоне», характеризующем равную контрастность по всем переменным х i (i =1,2), точка b расположена в «овраге», в котором различная контрастность по различным переменным (имеем плохую обусловленность функции), точка с расположена на «плато», на котором низкая контрастность по всем переменным х i говорит о близости экстремума.

1.5. Основные методы построения математических моделей

Приведем классификацию методов формализованного представления моделируемых систем Волковой В.Н. и Денисова А.А.. Авторами выделены аналитические, статистические, теоретико-множественные, лингвистические, логические, графические методы. Основная терминология, примеры теорий, развивающихся на базе описанных классов методов, а также сфера и возможности их применения предложены в приложении 1.

В практике моделирования систем наибольшее распространение получили аналитические и статистические методы.

1) Аналитические методы построения математических моделей.

Основу терминологического аппарата аналитических методов построения математических моделей составляют понятия классической математики (формула, функция, уравнение и система уравнений, неравенство, производная, интеграл и т.д.). Для этих методов характерна четкость и обоснованность терминологии с использованием языка классической математики.

На основе аналитических представлений возникли и получили развитие такие математические теории, как классический математический анализ (например, методы исследования функций), так и современные основы математического программирования и теории игр. К тому же, математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое, целочисленное и т.д.) содержит как средства постановки задачи, так и расширяет возможности доказательства адекватности модели, в отличие от ряда других направлений математики. Идеи оптимального математического программирования для решения экономических (в частности, решения задачи оптимального раскроя листа фанеры) задач были предложены Л.В. Канторовичем.

Поясним особенности метода на примере.

Пример. Предположим, что для производства двух видов продукций А и В нужно использовать сырьё трёх видов. При этом на изготовление единицы продукции вида А расходуется 4ед. сырья первого вида, 2 ед. 2-го и 3ед. 3-го вида. На изготовление единицы продукции вида В расходуется 2ед. сырья 1-го вида, 5 ед. 2-го вида и 4 ед. 3-го вида сырья. На складе фабрики имеется 35 ед. сырья 1-го вида, 43 – 2-го, 40 – 3-го вида. От реализации единицы продукции вида А фабрика имеет прибыль 5 тыс. руб., а от реализации единицы продукции вида В прибыль составляет 9 тыс. руб. Необходимо составить математическую модель задачи, в которой предусматривается получение максимальной прибыли.

Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы данного вида продукции приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации каждого вида продукции и общее количества сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Обозначим через х 1 и х 2 объем выпускаемой продукции видов А и В соответственно. Затраты материала первого сорта на план составят 4х 1 + 2х 2 , и они не должны превосходить запасов, т.е. 35 кг:

4х 1 + 2х 2 35.

Аналогичны ограничения по материалу второго сорта:

2х 1 + 5х 2 43,

и по материалу третьего сорта

3х 1 + 4х 2 40.

Прибыль от реализации х 1 единиц продукции А и х 2 единиц продукции В составит z = 5x 1 + 9x 2 (целевая функция).

Получили модель задачи:

Графическое решение задачи приведено на рисунке 11.

Оптимальное (наилучшее, т.е. максимум функции z ) решение задачи – в точке А (решение пояснено в главе 5).

Получили, что х 1 =4, х 2 =7, значение функции z в точке А: .

Таким образом, значение максимальной прибыли равно 83 тыс. руб.

Кроме графического существует еще ряд специальных методов решения задачи (например, симплекс-метод) или применяются пакеты прикладных программ, их реализующих. В зависимости от вида целевой функции различают линейное и нелинейное программирование, в зависимости от характера переменных выделяют целочисленное программирование.

Можно выделить общие черты математического программирования:

1) введение понятия целевой функции и ограничений являются средствами постановки задачи;

2) возможно объединение в одной модели разнородных критериев (разных размерностей, в примере – запасы сырья и прибыль);

3) модель математического программирования допускает выход на границу области допустимых значений переменных;

4) возможность реализации пошагового алгоритма получения результатов (пошаговое приближение к оптимальному решению);

5) наглядность, достигаемая посредством геометрической интерпретацией задачи, помогающая в тех случаях, когда невозможно решить задачу формально.

2) Статистические методы построения математических моделей.

Статистические методы построения математических моделей получили распространение и начали широко применяться с развитием теории вероятностей в 19 веке. В их основе лежат вероятностные закономерности случайных (стохастических) событий, отображающие реальные явления. Термин «стохастические» - уточнение понятия «случайные», указывает на заранее заданные, определенные причины, воздействующие на процесс, а понятие «случайные» характеризуется независимостью от воздействия или отсутствия таких причин.

Статистические закономерности представлены в виде дискретных случайных величин и закономерностей появления их значений или в виде непрерывных зависимостей распределения событий (процессов). Теоретические основы построения стохастических моделей подробно описаны в главе 2.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основную задачу математического моделирования.

2. Дайте определение математической модели.

3. Перечислите основные недостатки экспериментального подхода в исследовании.

4. Перечислите основные этапы построения модели.

5. Перечислите виды математических моделей.

6. Дайте краткую характеристику видов моделей.

7. Какой вид принимает математическая модель, представленная геометрически?

8. Как задаются математические модели аналитического типа?

Задания

1. Составить математическую модель решения задачи и провести классификацию модели:

1) Определить наибольшую вместимость цилиндрического ведра, поверхность которого (без крышки) равна S.

2) Предприятие обеспечивает регулярных выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке от первого из смежников – , от второго – . Найти вероятность сбоя в работе предприятия.

2. Модель Мальтуса (1798) описывает размножение популяции со скоростью, пропорциональной ее численности. В дискретном виде этот закон представляет собой геометрическую прогрессию: ; или .Закон, записанный в виде дифференциального уравнения, представляет собой модель экспоненциального роста популяции и хорошо описывает рост клеточных популяций в отсутствии какого-либо лимитирования: . Задайте начальные условия и продемонстрируйте работу модели.

Моделированияе Моделирование – это изучение реальной системы (оригинала), путем замещения его новым объектом его моделью, имеющего с ней определенное объектное соответствие и позволяющее прогнозировать ее функциональные особенности, т.е. при моделировании экспериментируют не самим объектом, а объектом, который называют заменителем.

Процесс моделирования включает несколько этапов:

1. Постановка задачи и определение свойств реального объекта, подлежащего исследованию.

2. Констатация затруднительности или невозможности исследования реального объекта.

3. Выбор модели, хорошо функционирующие основные свойства объекта с одной стороны и легко поддающиеся исследованию с другой. Модель должна отражать основные свойства объекта и не должна быть грамосткой.

4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью.

5. Проверка адекватности объекта и модели. Если нет соответствия, то необходимо повторить первые четыре пункта.

Существует классический и системный подход к решению задач моделирования. Суть метода заключается в следующем: Реальный объект, подлежащий к исследованию, разбивается на отдельные компоненты Д и выбираются определенные цели Ц формирования отдельных компонентов модели К . Затем на основе исходных данных создаются компоненты модели, совокупн6ость которых, с учетом их соотношений, объединяются в модель. Данный метод является индуктивным, т.е. построение модели происходит от частного к общему.

Классический метод используется для моделирования относительно простых систем, например, САУ.Системный подход Суть метода заключается в том, чтобы на основе исходных данных Д , которые известны из анализа внешней среды, с учетом ограничений, которые накладываются на систему и в соответствии с поставленной целью Ц , формируются требования Т и модели объекта. На базе этих требований строится подсистема П и элементы подсистем Э и с помощью критерия выбора КВ осуществляется выбор наилучшей модели, т.е. построение модели происходит от общего к частному.

Системный подход используется для моделирования сложных систем.

Классификация видов моделирования 1. По способу построения модели.а) Теоретические (аналитические) – строятся по данным о внутренней структуре на основе соотношений, вытекающих из физических данных. б) Формальные – по зависимости между выходом и входом в систему. Строится на основе принципа черного ящика.в) Комбинированные.2. По изменению переменных во времени.а) Статические.б) Динамические.Статическая модель описывает состояние объекта и не содержит производных х и у (входных и выходных) сигналов по времени.Математическая модель б) описывает статику объема с распределенными по длине координатами.Динамическая модель описывает переходные процессы во времени и содержит производные у i dt .Динамическая модель, в зависимости от способа получения, представляется в виде дифференциального уравнения переходной импульсной или частотной характеристики в виде передаточной функции.Динамика объектов с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частотных производных.3. По зависимости переменных модулей от пространственных координат.а) С распределенными параметрами.б) С сосредоточенными параметрами.4. По принципу построения.а) Стохастические.б) Детерминированные.Если х и у (вход и выход) постоянные или известные величины (детерминированные), то модель называется стохастическая.Если х и у случайные (вероятные) величины, то модель называется стохастической.

Стохастические модели содержат вероятные элементы и представляют собой систему зависимости, полученную в результате статического исследования действующего объекта.

Детерминированная – это система функциональных зависимостей, построенная с использованием теоретического подхода.

Детерминированные модели имеют ряд преимуществ. Их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает при проектировании. Они качественно, более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели.

Если информация об объекте моделирования не обладает достаточно высокой полнотой или из-за его значительной сложности, невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты существенны, то применяют статическую модель.

5. По зависимости параметров модели от переменных.

а) Зависимые (нелинейные).

б) Независимые (линейные).

Если параметры (коэффициенты) модели зависят от переменных или последнее мультипликативные, то модель является нелинейной.

Модель считают линейной при непрерывном отклике на входное воздействие и при аддетивности от параметров модели.

Адетивность величин - это свойство, заключающее в том, что значение величины целого объекта равно сумме значений соответствующих частот целого при любом разбиении объекта на части.

Мультипликативность величин – это свойство, заключающееся в том, что значение величины целого объекта равно произведению значения величины соответствующих частей целого при любом разбиении объекта на части.

6. По приспособляемости модели.

а) Адаптивные.

б) Неадаптивные.

Адаптивная – это модель, структура и параметры которой изменяются так, чтобы некоторая мера погрешности между выходными переменными модели и объекта была минимальна.

Они делятся на поисковые и беспоисковые.

В поисковых моделях автоматический оптимизатор варьирует параметры модели так, чтобы получилось минимальная мера ошибки между выходными моделями объекта.

Лекция № 2

Математические схемы моделирования

Основные подходы к построению математической модели системы

Исходная информация при построении математической модели, процесса функционирования систем служат данные о назначении и условии работы исследуемой системы. Эта информация определяет основную цель моделирования систем S и позволяет сформулировать требования и разрабатываемой математической модели М .

Математическая схема – это звено, при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования процесса, с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель → математическая схема → математическая модель.

Каждая система S характеризуется набором свойств, отражающих поведение системы и условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой ε .

Полнота модели регулируется в основном выбором границы системой S и внешней средой Е .

Задачу упрощения модели помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.

Введем следующее обозначение:

1) Совокупность входных воздействий на систему

.

2) Совокупность воздействий внешней среды

.

3) Совокупность внутренних или собственных параметров системы

.

4) Совокупность выходных характеристик системы