Как правило, ВАХ нелинейных элементовi = F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков . Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями , приходится прибегать к аппроксимации.

Обозначимзаданную таблично или графически ВАХ нелинейного элементаi = F V (u), а аналитическую функцию , аппроксимирующую заданную характеристику, i = F(u, a 0 , a 1 , a 2 , … , a N ). где a 0 , a 1 , … , a N – коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

А) В методе Чебышева коэффициенты a 0 , a 1 , … , a N функции F(u) находятся из условия:

т. е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь u k , k = 1, 2, ..., G – выбранные значения напряжения u.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N должны быть такими, чтобы минимизировать величину:

, (2.6)

Б) Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции i = F(u)рядом Тейлора в окрестности точкиu = U 0:

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости F(u) более простой линейной зависимостью . Такая замена называемся линеаризацией характеристик.

Первый член разложения F(U 0) = I 0 представляет собой постоянный ток в рабочей точке при u = U 0 , а второй ч лен

дифференциальную крутизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке , т. е. при u = U 0 .

В) Наиболее распространенным способом приближения заданной функции является интерполяция (метод выбранных точек), при которой коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N аппроксимирующей функции F(u) находятся из равенства этой функции и заданной F x (u)в выбранных точках (узлах интерполяции) u k = 1, 2, ... , N+1.

Д) Степенная (полиномиальная ) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами:

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точкиU 0 , называемой рабочей . Тогда используют степенной полином

Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия , поэтому требуется достаточно точное воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Е) Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции . Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами .

С математической точки зрения это означает, что на каждом заменяемом участке характеристики используются степенные полиномы первой степени (N = 1 ) с различными значениями коэффициентов a 0 , a 1 , … , a N .

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше методов.

Как указывалось ранее, удобными характеристиками нелинейных элементов являются не уравнения связи, а вольтамперная характеристика активного сопротивления
или
, или зависимость
- для нелинейной индуктивности (ампервеберная характеристика), или зависимостьq(u) – для нелинейной емкости (вольткулонная характеристика) (рис.3.8).

Рис.3.8. Виды характеристик нелинейных элементов

Однако, графическая форма характеристик нелинейных элементов (рис.3.8.) не позволяет использовать зависимости (3.1-3.15), для составления уравнений работы схем с нелинейными элементами. Поэтому одной из важнейших задач, которая возникает при анализе колебаний в схемах, содержащих нелинейные элементы, состоит в аппроксимации нелинейных характеристик. Наибольшее распространение аппроксимаций нелинейных характеристик получили полиномиальная и кусочно-линейная, а также аппроксимация с помощью различных видов трансцендентных функций.

При анализе нелинейных схем возможность получить правильный результат существенно зависит как от правильности выбора метода аппроксимации, так и от выражения аппроксимирующей функции нелинейного элемента. Возникает определенное противоречие – чем точнее аппроксимация нелинейного элемента, тем сложнее получить нужное аналитическое выражение характеристики нелинейного элемента. Но кроме этого, сложнее построить и решение нелинейного уравнения, описываюшего колебания в такой нелинейной системе, с помощью выбранного выражения аппроксимирующей функции. Поэтому правильный выбор аппроксимации нелинейной характеристики позволяет существенно упростить построение решения нелинейного уравнения. Кроме того необходимо отметить, что очень часто одну и ту же характеристику нелинейного элемента приходится по-разному аппроксимировать в зависимости от того, в каких условиях работает нелинейный элемент и какие вопросы должны быть исследованы. Поэтому, способы аппроксимации выбирают в каждом конкретном случае исследования колебаний в схемах с нелинейными элементами различными.

Рассмотрим способы аппроксимации различных функций нелинейных элементов. К наиболее распространенным способам аппроксимации нелинейных элементов относят следующие:

полиномиальная аппроксимация ─ представление нелинейной характеристики с помощью степенного ряда,

кусочно-линейная аппроксимация ─ представление аппроксимируемой функции отрезками прямых линий,

аппроксимация с помощью различных видов трансцендентных функций.

Полиномиальная аппроксимация. Если любая из нелинейных характеристик задана аналитическим выражением, то в окрестности рабочей точки функция может быть представлена разложением в ряд Тейлора (
в окрестности точки х 0)

, (3.16)

где R – остаток в разложении в ряд Тейлора, которым пренебрегают при аппроксимации.

Если же характеристика задана графически (рис.3.9), то аппроксимацию можно осуществить укороченным степенным рядом (полином), ограничивая его второй - пятой степенью

Рис.3.9. Графическое представление нелинейной характеристики

Для определения коэффициентов а k требуем, чтобы при значениях переменной x k в левой части полинома (3.17) получались значения функции y k .

Составляем систему уравнений:

, где
. (3.18)

В этой системе уравнений y n , у 0 , x n , x 0 – известные величины, поэтому эту систему можно решить по методу Крамера, относительно коэффициентов a k .

Если x=x 0 +S (х 0 постоянное смещение, а S малый сигнал), то

где α – дифференциальный параметр нелинейного элемента. Таким образом, можно отметить, что первый коэффициент a 1 полиномиальной аппроксимации нелинейной характеристики (3.17) совпадает с дифференциальным параметром нелинейного элемента. Кроме того отметим, что если х=0 лежит внутри интервала (х 5 -х 1) аппроксимации нелинейной характеристики полиномом, то коэффициент а 0 определяет значение функции в начале координат (т.е. если мы рассматриваем в качестве нелинейной характеристики i=φ(u), то коэффициент а 0 =i(0) определяется как значение тока при u=0.

Кусочно-линейная аппроксимация. Кусочно-линейная аппроксимация основана на замене реальной характеристики нелинейного элемента отдельными участками, которые заменяются отрезками прямых линий (рис.3.10).

Рис.3.10. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейного элемента

Точность кусочно-линейного приближения зависит от количества интервалов, заменяемых отрезками прямых в заданном интервале использования кусочно-линейной аппроксимации. Чем на большее количество отрезков прямых разбит интервал, для которого мы применяем кусочно-линейное приближение, тем выше точность совпадения с реальной нелинейной характеристикой, но при этом сушественно усложняется анализ колебаний в такой системе. Для упрощения расчетов желательно ограничиваться минимальным количеством отрезков прямых, замещающих нелинейную характеристику. Например, динамическую проходную характеристику триода (рис.3.10) можно аппроксимировать с достаточной степенью точности всего лишь тремя отрезками прямых линий:

. (3.20)

Замена нелинейных участков характеристик нелинейных элементов отрезками прямых, прозволяет считать и сами характеристики линейными, а это значит, что применимы теперь все методы линейной теории цепей. На протяжении линейных участков нелинейные элементы заменяются на линейные, с характеристиками равными их дифференциальным величинам.

Аппроксимация нелинейных характеристик с помощью трансцендентных функций. Иногда характеристики нелинейных элементов аппроксимируют трансцендентными функциями рис.3.11. В качестве аппроксимирующих трансцендентных функций применяются экспоненты и их суммы, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и другие функции. Например,

или
. (3.21)

Рис.3.11. Примеры аппроксимации нелинейных характеристик

трансцендентными функциями

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физиче­ские закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных при­борах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависи­мость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зави­симости и аппроксимирующей ее функции.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональ­ные, экспоненциальные и трансцендентные функции или совокупность линейных функций (отрезков пря­мых линий).

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F (u ) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U min ≤ и ≤ U max , и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача ап­проксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирую­щей функцией f (x ).

О близости аппроксимирующей f (x ) и аппроксимируемой ξ(х ) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b , т. е. по величине

Λ = max ‌‌ │ f (x )- ξ(x )│

Часто критерием близости выбирается среднее квадратичное значение разности между указанными функциями в интервале ап­проксимации.

Иногда под близостью двух функций f(x ) и ξ(x ) понимают сов­падение в заданной точке

x = Хо самих функций и п + 1 их произ­водных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбран­ных точек), когда добиваются совпадения функций f(x ) и ξ(x ) в выбранных точках (узлах интерполяции) X k , k = 0, 1, 2, ..., п.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем мень­шей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппрок­симирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппрок­симирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одно­временно с этим, естественно, растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппрок­симирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик элек­тронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести об­щий усредненный характер зависимости i = F (u ) в пределах ее ра­бочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.

Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.

Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n +1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:

Из этой системы находятся коэффициенты а 0 , а 1 , а 2 , …, а n .

В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома).

Можно использовать экспоненциальный полином:

Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору . В этом случае выбирается одна точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные.

Аппроксимация по Батерворту : выбирается простейший полином:

В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.

Аппроксимация по Чебышеву : является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наиболь­шее по абсолютной величине отклонение полинома f (x ) степени п от непрерывной функции ξ(х ) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность

f (x ) - ξ(х ) не мень­ше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиесяпредельные наибольшие f (x ) - ξ(х ) = L > 0 и наименьшие f (x ) - ξ(х ) = - L значения (критерий Чебышева).

Во многих прикладных задачах находит применение полиноми­альная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близо­сти, когда параметры аппроксимирующей функции f (x ) выбирают­ся из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b квадрата отклонения функции f (x ) от заданной непре­рывной функции ξ(х ), т. е., из условия:

Λ= 1/b-a∫ a [f (x )- ξ(x )] 2 dx = min . (7)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов a k аппроксимирующего полинома f (x ), т. е. уравнений

д Λ ∕ д a 0 =0;д Λ ∕ д a 1 =0;д Λ ∕ д a 2 =0, . . . ,д Λ ∕ д a n =0. (8)

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное ре­шение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно.

Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:

В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий.

В пределах каждого из линиаризированных участков вольт-амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелиней­ных резистивных цепях аппроксимируемая вольт-амперная харак­теристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью пред­ставляется двумя или тремя отрезками прямых.

Подобная аппроксимация вольт-амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нели­нейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействи­ях на нелинейный элемент, т. е. ко­гда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I н

Преобразование сигналов в нелинейных

радиотехнических цепях

Большинство процессов (нелинейное усиление сигналов, модуляция,

демодуляция, ограничение, генерация, умножение, деление и перенос частоты и т. д.), связанных с преобразованием спектра сигналов, осуществляют с помощью нелинейных и параметрических цепей. В нелинейных цепях параметры элементов зависят от входных воздействий, и процессы, протекающие в них, описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом к ним неприменим принцип суперпозиции. Эти цепи отличаются большим разнообразием и поэтому не существует общих методов их анализа.

Анализ нелинейных цепей мы ограничим рассмотрением только их определённого класса. Это радиотехнические цепи, анализ которых проводится в основном с помощью вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Промежуточное положение между линейными и нелинейными цепями занимают параметрические цепи, которые являются линейными и к которым применим принцип суперпозиции. Однако в спектре выходного сигнала таких цепей могут появиться новые частоты. Параметрические цепи описывают линейными дифференциальными уравнениями с переменными (т. е. зависящими от времени) коэффициентами. Теория этих уравнений по сравнению с теорией линейных уравнений с постоянными коэффициентами более сложна. Некоторые параметрические цепи работают в существенно нелинейном режиме. Это позволяет методологически объединить параметрические цепи с нелинейными цепями, тем более что результат обработки сигнала связан с преобразованием его спектра.

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях – весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от её параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удаётся осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент (НЭ) отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность НЭ означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Строго говоря, безынерционных (резистивных, или омических, т.е. только поглощающих энергию входного сигнала) практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы, – обладают инерционными свойствами. В то же время современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.

Нелинейные динамические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями, в этих системах нелинейность обязательно присутствует. Нелинейную цепь можно определить не только по входящим в нее элементам, но и по внешним признакам, к числу которых при гармоническом входном сигнале относят:

ü отличие от синусоидальной формы выходного сигнала ;

ü появление в спектре выходного колебания гармоник входного сигнала;

ü нелинейность передаточной амплитудной характеристики;

ü зависимость фазы усиленного сигнала от амплитуды.

Известны и используют следующие методы анализа нелинейных цепей при прохождении через них детерминированных сигналов:

Ø линеаризация характеристик нелинейного элемента (НЭ) при

фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи;

Ø аналитические, как правило, приближенные способы решения системы

нелинейных уравнений, описывающих работу устройства;

Ø спектральный, оценивающий нелинейные свойства цепи по спектру

выходного сигнала;

Ø численные способы решения системы нелинейных уравнений с

помощью компьютера;

Наиболее часто используют метод анализа нелинейных цепей, основанный на линеаризации характеристик НЭ при фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи.

Линеаризация (от лат. linearis – линейный) – метод приближённого

представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование

нелинейной системы заменяют анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь при определённом «режиме» работы системы, а если система переходит из одного режима работы на другой, то следует изменить и её линеаризированную модель. Вместе с тем, применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и количественные свойства нелинейной системы.

В качестве примера нелинейных цепей, точнее элементов, можно привести полупроводниковый выпрямительный диод, оставляющий от синусоидального сигнала только однополярные (положительные или отрицательные) полусинусоиды, или трансформатор, насыщение сердечника которого магнитным полем приводит к «затуплению» вершин синусоиды (а с точки зрения частотного спектра, это сопровождается появлением гармоник основной частоты, а иногда и частот меньшей в кратное число раз основной частоты – субгармоник).

При использовании метода линеаризации анализ прохождения сигнала

через нелинейную цепь сравнительно просто осуществить, если нелинейный

элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное изменение отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных (резистивных, или омических, т. е. поглощающих энергию сигнала) НЭ практически не существует. Все НЭ – диоды, транзисторы, микросхемы, электровакуумные приборы и т. д. – обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам, и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.1.

Рис.1. Структурная схема нелинейного устройства

Согласно этой схеме, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключён фильтр (линейная цепь).

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями.

В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяющий нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществлять требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией , которую в общем виде можно записать так:

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ в качестве воздействия наиболее удобно рассматривать входное напряжение , а отклика – выходной ток , связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

...................... (1)

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольтамперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладает и нелинейный двухполюсник (полупроводниковый диод), и нелинейный четырёхполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольтамперные характеристики (для нелинейных элементов их получают экспериментально) большинства НЭ имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. Как правило, не имеет большого смысла проектирование систем анализа и обработки сигналов по высокоточным формулам, если снижение погрешности расчётов и соответствующее усложнение систем не дает ощутимого эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации – представление исходных сложных функций простыми и удобными для практического использования относительно простыми функциями (или их набором) таким образом, чтобы отклонение от в области её задания было наименьшим по определенному критерию приближения. Функции называют функциями аппроксимации. Нахождение аналитической функции по экспериментальной вольт-амперной характеристике нелинейного элемента называют аппроксимацией.

В радиотехнике и теории передачи информации используются несколько способов аппроксимации характеристик НЭ – степеннáя, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломаная).Наибольшее распространение получили аппроксимация степенны м полиномом и кусочно-линейная аппроксимация сложных функций.

Аппроксимация ВАХ степенным полиномом

Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах входных сигналов (как правило, доли вольта) в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и её производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степенн го полинома используют ряд Тейлора:

где – постоянные коэффициенты;

– значение напряжения , относительно которого ведётся разложение в ряд и называемое рабочей точкой.

Постоянные коэффициенты ряда Тейлора определяются известной формулой

. .................. (3)

Оптимальное число членов ряда берётся в зависимости от требуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удаётся достаточно точно осуществить полиномом не выше второй-третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда (2) необходимо задаться диапазоном , нескольких возможных значений напряжения и положением рабочей точки в этом диапазоне. Если требуется определить коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается точек со своими координатами . Для упрощения расчётов одну точку совмещают с рабочей точкой , имеющей координаты ; ещё две точки выбираются на границах диапазона и . Остальные точки располагают произвольно, но с учётом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2), составляют систему из уравнений, которая решается относительно известных коэффициентов ряда Тейлора.

Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально; реже удается найти их из теоретического анализа. Для исследования необходимо подобрать функцию аппроксимации такую, которая, будучи довольно простой, отражала бы все возможные особенности экспериментальной снятой характеристики с достаточной степенью точности. Чаще всего используют следующие способы аппроксимации вольт-амперных характеристик двухполюсников: кусочно-линейная, степенная, показательная аппроксимация.

Кусочно-линейная аппроксимация

Такую аппроксимацию обычно применяют при рассчете процессов в нелинейных уравнениях в случае больших амплитуд внешних воздействий. Данный способ основан на апроксимации характеристик нелинейных элементов, т.е. на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. На рисунке показана входная характеристика реального транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами – напряжением начала характеристики Uн и крутизной S. Математическая форма аппроксимированной ВАХ такова:

Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0,2-0,8 В: крутизна характеристики тока базы iб(Uбэ) около 10мА/В. Крутизна характеристики iк(Uбэ) тока коллектора в зависимости от напряжения база-эмиттер, то величина 10мА/В должна быть умножена на h21э – коэффициент усиления тока базы. Поскольку h21э = 100-200, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт.

Степенная аппроксимация

Степенную аппроксимацию широко используют при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия. Этот способ основан на разложении нелинейной вольт-амперной характеристики i(u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U0.

количество членов разложения зависит от заданной точности. Рассмотрим пример:

Входная характеристика транзистора. Рабочая точка U0=0,7В. Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0,5; 0,7 и 0,9 В.

Необходимо решить систему уравнений:

Спектральный состав тока в нелинейном элементе при внешнем гармоническом воздействии

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательного соединения источника гармонического сигнала Uс(t) = coswt, источника постоянного напряжения смещения U0 и безинерционного нелинейного элемента. Для этого рассмотрим рисунок.

Ток в цепи имеет синусоидальную форму.

Форма тока и напряжения оказываются различными.

Причина искажения кривой тока проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, т.к. , а дифференциальная крутизна ВАХ на разных участках различна.

Рассмотрим задачу аналитически.

Пусть нам известна нелинейная функция i(u)=i(Uc,U0). На нелинейный элемент действует напряжение сигнала Uc(t)=Umcos(wt+j).

Безразмерная величина x=wt+j, тогда I(x)=I(Umcosx, U0) – переодическая функция относительно аргумента x с периодом 2T. Представим ее рядом Фурье с коэффициентами .

Функция i(x) четная, поэтому ряд Фурье будет содержать только косинусные составляющие: .

Амплитудные коэффициенты гармонии

Две последние формулы дают общее решение задачи о спектре тока в нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии:

т.е. ток, кроме постоянной составляющей I0, содержит бесконечную последовательность гармонии с амплитудами In. Амплитуды гармонии зависят от параметров Um и U0, а также от вида аппроксимирующей функции.

Рассмотрим каким образом зависит от вида аппроксимирующей функции.

Кусочно-линейная

i(U)=

Подано напряжение u(t)=U0+Umcoswt.

График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства:

U0+Umcosq=Uн Þ .

Степенная аппроксимация.

Пусть в окрестности рабочей точки U0 ВАХ нелинейного элемента